A diferença entre dois números é 30. Calcule-os, sabendo que o quociente do primeiro por 10 é igual à metade do segundo menos 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a diferença entre dois números é 30. Além disso, ele fala que o quociente do primeiro número por 10 é igual à metade do segundo número menos 5. A matéria que vamos usar aqui é sistema de equações lineares, que ajuda a resolver problemas com mais de uma incógnita. Vamos precisar definir incógnitas e montar as equações com base nas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossos dois números. Vou chamar o primeiro de $ x $ e o segundo de $ y $. Segundo o enunciado, a diferença entre eles é 30. Isso nos dá a primeira equação:
x

Passo 3

Agora, vamos para a segunda informação: o quociente do primeiro número por 10 é igual à metade do segundo número menos 5. Em termos matemáticos, isso fica:
x10 = y2 - 5

Passo 4

Vamos simplificar essa segunda equação para facilitar. Multiplicando todos os termos por 10 para eliminar a fração:
x = 5y - 50
Aqui, multiplicamos $ \frac{x}{10} \times 10 = x $ e $ \frac{y}{2} \times 10 = 5y $, além de $ -5 \times 10 = -50 $.

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. $ x - y = 30 $
  2. $ x = 5y - 50 $
Podemos substituir a segunda equação na primeira para encontrar $ y $. Substituindo $ x $ por $ 5y - 50 $ na primeira equação:
x - y = 30

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
5y - 50 - y = 30
4y - 50 = 30
Agora, isolamos o $ y $:
y
4y = 80

Passo 7

Agora que encontramos $ y = 20 $, usamos a segunda equação para encontrar $ x $:
y = 20
x
x = 5(20) - 50

Resposta

Os dois números são 50 e 20.

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