A diferença de pressão, De, através de uma obstrução parcial na artéria (chamado de estenose) é aproximada pela equação
De
em que V é a velocidade do sangue, mu a viscosidade do sangue, rho a massa específica do sangue, D o diâmetro da artéria, A0 a área não obstruída da artéria e A1 a área da estenose. Determine as dimensões das constantes kv e ku. Essa equação é válida em qualquer sistema de unidades?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a diferença de pressão, De, em uma artéria que está meio entupida (chamamos isso de estenose). A equação que descreve essa diferença de pressão é:
O que a gente precisa fazer aqui é descobrir quais são as dimensões das constantes e . Além disso, queremos saber se essa equação funciona em qualquer sistema de unidades. Para resolver isso, vamos usar um pouco de análise dimensional, que é uma forma de verificar se as equações físicas estão consistentes em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da equação e identificar as unidades de cada variável:
  • : diferença de pressão
  • e : constantes que queremos descobrir as dimensões
  • : viscosidade do sangue
  • : velocidade do sangue
  • : diâmetro da artéria
  • e : áreas
  • : massa específica do sangue

Passo 3

Vamos analisar cada termo da equação separadamente. A equação tem dois termos:
De
Para que a equação faça sentido, os dois termos do lado direito devem ter as mesmas dimensões que o lado esquerdo, que é a pressão, .

Passo 4

Vamos começar pelo Termo 1:
kv mu VD
Substituindo as dimensões:
[kv] times [M L^-1 T^-1] times [L T^-1][L] = [kv] times M L^-1 T^-1 times L T^-1L = [kv] times M T^-2L = [kv] times [M L^-1 T^-2]
Queremos que todo o termo seja igual a [kv] times [M L^-1 T^-2] = [M L^-1 T^-2] . Portanto:
[kv] = 1
Isso implica que:
Ou seja, é adimensional.

Passo 5

Agora, vamos para o Termo 2:
ku ( A0A1 - 1 )^2 rho V^2
Primeiro, vamos analisar [ku] times [1] times [M L^-3] times [L T^-1]^2 = [ku] times M L^-3 times L^2 T^-2 = [ku] times M L^-1 T^-2 . Como [ku] times [M L^-1 T^-2] = [M L^-1 T^-2] é uma razão de áreas, ela é adimensional. Subtrair 1 de uma quantidade adimensional continua sendo adimensional, e elevar ao quadrado também mantem isso. Portanto, essa parte é adimensional.
Agora, substituindo as dimensões do restante:
[ku] = 1
Mais uma vez, queremos que todo o termo seja igual a . Assim:
Logo:
Portanto, também é adimensional.

Passo 6

Agora que descobrimos que tanto quanto são adimensionais (ou seja, não possuem dimensões), podemos concluir sobre a validade da equação em diferentes sistemas de unidades.
A equação está construída de forma que todas as quantidades sejam compatíveis em termos dimensionais. Isso significa que a equação é válida em qualquer sistema de unidades, desde que os valores sejam inseridos de acordo com as unidades escolhidas. As constantes adimensionais e não introduzem dependência de um sistema específico de unidades.

Resposta

As constantes e são adimensionais, ou seja, não possuem dimensões. Além disso, a equação é válida em qualquer sistema de unidades.

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