Diga se cada equação é verdadeira ou falsa: 1/x / (a/x - b/x) = 1/(a - b)

B Testes de Verificação: Geometria Analítica

  1. Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2, -5) e
    (a) tem inclinação -3
    (b) É paralela ao eixo x
    © é paralela ao eixo y
    (d) é paralela à reta 2x - 4y = 3

Passo 1

Vamos analisar a equação . O objetivo é verificar se essa equação é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos entender um pouco de álgebra, especificamente sobre frações e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação: . Podemos reescrever o denominador combinando as frações:

Passo 3

Agora, substituímos o denominador simplificado na expressão original:
Como estamos dividindo duas frações, multiplicamos pela inversa:

Passo 4

Observe que o x no numerador e no denominador se cancelam:
Isso mostra que o lado esquerdo simplifica exatamente para o lado direito da equação.

Passo 5

Agora, vamos para os Testes de Verificação em Geometria Analítica. O primeiro item é encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e tem inclinação . Para isso, usaremos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 6

A fórmula da reta na forma ponto-inclinação é:
Onde é o ponto dado e m é a inclinação da reta.

Passo 7

Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando:

Passo 8

Isolando y para obter a forma geral da equação:

Passo 9

Para o item (b), queremos a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela ao eixo x. Uma reta paralela ao eixo x é uma reta horizontal, o que significa que sua inclinação é 0.

Passo 10

Usando a forma ponto-inclinação novamente, com :
Simplificando:

Passo 11

Isolando y:

Passo 12

No item ©, queremos a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela ao eixo y. Uma reta paralela ao eixo y é uma reta vertical, a qual não tem inclinação definida (pensa-se como infinita).

Passo 13

A equação de uma reta vertical que passa por é simplesmente uma equação onde x é constante e igual ao x do ponto.

Passo 14

Como o ponto tem x = 2, a equação será:

Passo 15

No item (d), queremos a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela à reta . Para isso, primeiro precisamos encontrar a inclinação dessa reta dada.

Passo 16

Reescrevendo a equação na forma de inclinação ( ):
Então, a inclinação m é 1/2.

Passo 17

Como a reta que queremos é paralela, ela terá a mesma inclinação . Usando a forma ponto-inclinação com o ponto :
Simplificando:

Passo 18

Isolando y:

Resposta

A equação da reta é .

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