Diga com suas palavras o que é indução e faça um esquema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa explicar, com suas próprias palavras, o que é indução e fazer um esquema sobre o tema. Vamos trabalhar com o conteúdo de matemática, mais especificamente com indução matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que dependem de números naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender os princípios básicos da indução e como aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Indução, na matemática, é um método de prova que permite demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela funciona de maneira semelhante a uma sequência de dominós: se você consegue derrubar o primeiro dominó e cada dominó derruba o próximo, então todos os dominós cairão.
Passo 3
O processo de indução matemática geralmente envolve dois passos principais:
- Caso Base: Provar que a afirmação é verdadeira para um número inicial, geralmente 1.
- Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um número qualquer
e, com base nessa suposição, provar que ela também é verdadeira para .
Passo 4
No Caso Base, verificamos se a declaração é verdadeira para o primeiro valor da sequência. Por exemplo, se estamos provando que a soma dos primeiros
números naturais é
, verificamos se isso é válido para
:
Como a igualdade é verdadeira, o caso base está comprovado.
Passo 5
No Passo Indutivo, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
qualquer, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Em seguida, mostramos que, se a afirmação vale para
, ela também vale para
. Adicionamos
aos dois lados da equação:
Simplificando o lado direito:
Isso mostra que a afirmação também é verdadeira para
, completando o passo indutivo.
Passo 6
Depois de comprovar o caso base e o passo indutivo, concluímos, por indução matemática, que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Resposta
Indução Matemática é um método de prova utilizado para verificar que uma afirmação é válida para todos os números naturais, seguindo dois passos principais: o caso base, onde a afirmação é confirmada para o primeiro número, e o passo indutivo, onde se assume que a afirmação é verdadeira para um número
e então se demonstra que ela também vale para
.
Esquema de Indução Matemática:
- Caso Base: Provar que a afirmação é verdadeira para
. - Hipótese de Indução: Assumir que a afirmação é verdadeira para
. - Passo Indutivo: Mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para . - Conclusão: A afirmação é verdadeira para todos os números naturais
.
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