A direção da escola “Todos Felizes” está renovando seu canteiro de flores. Entre as possíveis variedades que podem ser plantadas foram escolhidas cinco: Peônias, Crisântemo, Lírio, Papoulas e Malva. Serão utilizadas somente três variedades distintas não importando como elas serão dispostas. O jardineiro deve determinar os trios de variedades de flores que vão compor o canteiro. De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é dada por:
5
10
15
3045.

Passo 1

Vamos resolver um problema de combinações, que faz parte da combinatória na matemática. A situação é a seguinte: a escola está escolhendo 3 variedades de flores diferentes entre 5 opções disponíveis (Peônias, Crisântemo, Lírio, Papoulas e Malva) para montar o canteiro. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos formar esses grupos de 3 flores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que combinação é uma forma de selecionar itens onde a ordem não importa. No nosso caso, não importa a ordem em que as flores são escolhidas, apenas quais flores estão no grupo de 3.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de itens (neste caso, 5 variedades de flores).
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher (neste caso, 3 variedades).
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula:
C(5, 3) = 5!3! times (5 - 3)! = 5!3! times 2!

Passo 5

Calculando os fatoriais:
  • $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $
  • $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
  • $ 2! = 2 \times 1 = 2 $

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula:
C(5, 3) = 1206 times 2 = 12012 = 10

Resposta

10 maneiras diferentes de formar trios de variedades de flores para o canteiro.

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