Um disco de massa
e raio
está girando em torno de seu centro com velocidade angular
. No instante
, o disco explode em duas partes de massas iguais
, e uma das partes é ejetada radialmente com velocidade
em relação ao centro do disco. Determine a nova velocidade angular
da outra parte que continua a girar após a explosão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um disco com massa
e raio
que está girando ao redor de seu centro com uma velocidade angular inicial
. No instante
, o disco explode em duas partes iguais, cada uma com massa
. Uma dessas partes é lançada radialmente com uma velocidade
em relação ao centro do disco. Precisamos descobrir qual é a nova velocidade angular
da outra parte que continua girando após a explosão.
Para resolver esse problema, vamos usar os conceitos de momento angular e conservação do momento angular. O momento angular é uma medida de quanta rotação um objeto tem, levando em conta sua massa, forma e velocidade de rotação. A conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torque externo, o momento angular total de um sistema permanece constante antes e depois de um evento, como uma explosão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular inicial do disco antes da explosão. A fórmula do momento angular
para um disco que gira em torno de seu eixo central é:
Onde
é o momento de inércia do disco. Para um disco sólido, o momento de inércia é:
Então, substituindo:
Passo 3
Após a explosão, o disco se divide em duas partes iguais, cada uma com massa
. Uma parte é ejetada radialmente com velocidade
, e a outra continua girando com a velocidade angular
que queremos encontrar.
Vamos analisar cada parte individualmente:
-
Parte ejetada radialmente: Como essa parte é lançada radialmente, ela não contribui para o momento angular em relação ao eixo de rotação, pois sua velocidade é perpendicular ao raio. Portanto, o momento angular dessa parte após a explosão é zero.
-
Parte que continua girando: Essa parte tem massa
e continua a girar com velocidade angular . O momento de inércia dessa parte será:
E o momento angular dessa parte após a explosão será:
Passo 4
Segundo a conservação do momento angular, o momento angular total antes da explosão deve ser igual ao momento angular total após a explosão, já que não há torque externo atuando no sistema. Portanto:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
. Primeiro, podemos simplificar ambos os lados da equação pelo termo comum
:
Portanto, isolando
:
Resposta
A nova velocidade angular da parte que continua girando após a explosão é:
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, onde
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