Um disco de massa M e raio R está girando em torno de seu centro com velocidade angular omega0. No instante t=0, o disco explode em duas partes de massas iguais M / 2, e uma das partes é ejetada radialmente com velocidade vr em relação ao centro do disco. Determine a nova velocidade angular omegaf da outra parte que continua a girar após a explosão.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um disco com massa e raio que está girando ao redor de seu centro com uma velocidade angular inicial . No instante , o disco explode em duas partes iguais, cada uma com massa . Uma dessas partes é lançada radialmente com uma velocidade em relação ao centro do disco. Precisamos descobrir qual é a nova velocidade angular da outra parte que continua girando após a explosão.
Para resolver esse problema, vamos usar os conceitos de momento angular e conservação do momento angular. O momento angular é uma medida de quanta rotação um objeto tem, levando em conta sua massa, forma e velocidade de rotação. A conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torque externo, o momento angular total de um sistema permanece constante antes e depois de um evento, como uma explosão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular inicial do disco antes da explosão. A fórmula do momento angular Linicial = I cdot omega0 para um disco que gira em torno de seu eixo central é:
I = 12 M R^2
Onde Linicial = 12 M R^2 cdot omega0 é o momento de inércia do disco. Para um disco sólido, o momento de inércia é:
Então, substituindo:

Passo 3

Após a explosão, o disco se divide em duas partes iguais, cada uma com massa Iparte = 12 ( M2 ) R^2 = 14 M R^2 . Uma parte é ejetada radialmente com velocidade Lfinal = Iparte cdot omegaf = 14 M R^2 cdot omegaf , e a outra continua girando com a velocidade angular que queremos encontrar.
Vamos analisar cada parte individualmente:
  1. Parte ejetada radialmente: Como essa parte é lançada radialmente, ela não contribui para o momento angular em relação ao eixo de rotação, pois sua velocidade é perpendicular ao raio. Portanto, o momento angular dessa parte após a explosão é zero.
  2. Parte que continua girando: Essa parte tem massa e continua a girar com velocidade angular . O momento de inércia dessa parte será:
E o momento angular dessa parte após a explosão será:

Passo 4

Segundo a conservação do momento angular, o momento angular total antes da explosão deve ser igual ao momento angular total após a explosão, já que não há torque externo atuando no sistema. Portanto:
Linicial = Lfinal
Substituindo os valores que calculamos:
12 M R^2 cdot omega0 = 14 M R^2 cdot omegaf

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 2 cdot omega0 = omegaf . Primeiro, podemos simplificar ambos os lados da equação pelo termo comum omegaf = 2 omega0 :
Portanto, isolando :

Resposta

A nova velocidade angular da parte que continua girando após a explosão é:
omegaf = 2 omega0

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