Um foguete de massa inicial
está em repouso no espaço e começa a ejetar massa (combustível) a uma taxa constante
com velocidade de exaustão
em relação ao foguete. Determine a velocidade do foguete como uma função do tempo, assumindo que a massa varia com o tempo de acordo com
, onde
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um foguete que começa parado no espaço e vai soltando combustível em uma taxa constante. A massa do foguete diminui com o tempo, e queremos descobrir qual é a velocidade dele conforme o tempo passa. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Conservação do Momento e entender um pouco sobre como a força de propulsão funciona nos foguetes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei da Conservação do Momento diz que, se não tem força externa agindo, o momento total do sistema permanece constante. No nosso caso, o foguete está no espaço sem atrito, então essa lei se aplica direitinho.
Passo 3
Agora, vamos considerar um pequeno intervalo de tempo
. Nesse tempo, o foguete perde uma massa
, onde
é a taxa constante de perda de massa. A velocidade de exaustão do combustível é
, que é relativa ao foguete.
Passo 4
Usando a conservação do momento, a mudança no momento do foguete deve ser igual ao momento do combustível expelido. Matemáticamente, isso fica:
Onde
é a massa do foguete no tempo
.
Passo 5
Rearranjando a equação para achar
:
Como
, substituímos:
Passo 6
Para encontrar a velocidade
do foguete em função do tempo, precisamos integrar essa expressão:
Essa integral resulta em:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Uma barra uniforme de comprimento
e massa total
está disposta ao longo do eixo
, com uma extremidade na origem
e a outra em
. Qual é a posição do centro de massa da barra?
Dois blocos,
e B, de massas
e
, estão se movendo em uma linha reta. O bloco A tem uma velocidade inicial de
, e o bloco
tem uma velocidade
. Após a colisão, a velocidade de
é
e a de
é
. O coeficiente de restituição da colisão é e. Determine as velocidades finais
e
.
( 0,5 pontos) Qual é a direção e sentido que o deslocamento do elétron ocorre? Justifique.
Um disco de massa
e raio
está girando em torno de seu centro com velocidade angular
. No instante
, o disco explode em duas partes de massas iguais
, e uma das partes é ejetada radialmente com velocidade
em relação ao centro do disco. Determine a nova velocidade angular
da outra parte que continua a girar após a explosão.