Um foguete de massa inicial M0 está em repouso no espaço e começa a ejetar massa (combustível) a uma taxa constante dotm com velocidade de exaustão ve em relação ao foguete. Determine a velocidade do foguete como uma função do tempo, assumindo que a massa varia com o tempo de acordo com M(t)=M0-dotm t, onde dotm é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um foguete que começa parado no espaço e vai soltando combustível em uma taxa constante. A massa do foguete diminui com o tempo, e queremos descobrir qual é a velocidade dele conforme o tempo passa. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Conservação do Momento e entender um pouco sobre como a força de propulsão funciona nos foguetes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei da Conservação do Momento diz que, se não tem força externa agindo, o momento total do sistema permanece constante. No nosso caso, o foguete está no espaço sem atrito, então essa lei se aplica direitinho.

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno intervalo de tempo . Nesse tempo, o foguete perde uma massa , onde é a taxa constante de perda de massa. A velocidade de exaustão do combustível é , que é relativa ao foguete.

Passo 4

Usando a conservação do momento, a mudança no momento do foguete deve ser igual ao momento do combustível expelido. Matemáticamente, isso fica:
M(t) cdot De
Onde é a massa do foguete no tempo .

Passo 5

Rearranjando a equação para achar De:
De
Como , substituímos:

Passo 6

Para encontrar a velocidade v(t) = integral dotm veM0 - dotm t dt do foguete em função do tempo, precisamos integrar essa expressão:
v(t) = ve ln(M0M0 - dotm t)
Essa integral resulta em:

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é:
v(t) = ve ln(M0M0 - dotm t)

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