Calcule a altura do centro de massa de uma semiesfera sólida de raio R=3 m e densidade uniforme em relação à base da semiesfera.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física onde precisamos encontrar a altura do centro de massa de uma semiesfera sólida com raio R = 3,m e densidade uniforme. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa em geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. É o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para uma semiesfera, precisamos calcular a média ponderada das alturas de todos os pontos que compõem a semiesfera.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a altura z varia de 0 (base da semiesfera) até R. A densidade uniforme significa que a massa por unidade de volume é constante.

Passo 4

A fórmula para a coordenada z do centro de massa é:
barz = integral z , dVintegral dV
onde integral dV é o volume total da semiesfera e integral z , dV é o primeiro momento de volume em relação à base.

Passo 5

Vamos calcular o volume da semiesfera:
V = 23 pi R^3
Substituindo R = 3,m:
V = 23 pi (3)^3 = 23 pi times 27 = 18pi,m^3

Passo 6

Agora, vamos calcular o primeiro momento de volume integral z , dV. Em coordenadas cilíndricas, dV = r , dr , dtheta , dz. A altura z varia de 0 a R, e o raio r varia de 0 a raizR^2 - z^2.

Passo 7

Integrando em coordenadas cilíndricas:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^R integral0^raizR^2 - z^2 z , r , dr , dz , dtheta
Primeiro, integrando em r:
integral0^raizR^2 - z^2 r , dr = 12 (R^2 - z^2)
Então:
integral z , dV = integral0^2pi dtheta integral0^R z cdot 12 (R^2 - z^2) dz = 2pi integral0^R z(R^2 - z^2)2 dz
Simplificando:
integral z , dV = pi integral0^R (R^2 z - z^3) dz = pi [R^2 z^22 - z^44]0^R
Substituindo:
integral z , dV = pi (R^42 - R^44) = pi (R^44) = pi R^44

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do centro de massa:
barz = pi R^4423 pi R^3 = 3R8

Resposta

A altura do centro de massa da semiesfera é barz = dfrac3R8 = dfrac3 times 38 = dfrac98,m = 1,125,m.

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