Calcule a altura do centro de massa de uma semiesfera sólida de raio
e densidade uniforme em relação à base da semiesfera.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física onde precisamos encontrar a altura do centro de massa de uma semiesfera sólida com raio
e densidade uniforme. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa em geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. É o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para uma semiesfera, precisamos calcular a média ponderada das alturas de todos os pontos que compõem a semiesfera.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a altura
varia de
(base da semiesfera) até
. A densidade uniforme significa que a massa por unidade de volume é constante.
Passo 4
A fórmula para a coordenada
do centro de massa é:
onde
é o volume total da semiesfera e
é o primeiro momento de volume em relação à base.
Passo 5
Vamos calcular o volume da semiesfera:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o primeiro momento de volume
. Em coordenadas cilíndricas,
. A altura
varia de
a
, e o raio
varia de
a
.
Passo 7
Integrando em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integrando em
:
Então:
Simplificando:
Substituindo:
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do centro de massa:
Resposta
A altura do centro de massa da semiesfera é
.