Um disco uniforme de raio R e massa m (ou seja, com momento de inércia I=m R^2 / 2) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade v. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura h atingida pelo disco.
a) 3 v^24 g

Passo 1

Então, temos um exercício de Física que envolve movimento de rotação e energia. Basicamente, um disco que está girando e se movendo sem deslizar entra em um plano inclinado. Nosso objetivo é descobrir a maior altura que esse disco consegue alcançar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética rotacional e translacional, além das leis de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o disco tem duas formas de energia cinética: uma devido ao seu movimento de translação (movimento para frente) e outra devido à sua rotação. A energia cinética total $ E_k $ do disco é a soma dessas duas.

Passo 3

A energia cinética de translação é dada por:
Etrans = 12 m v^2
onde $ m $ é a massa do disco e $ v $ é a velocidade do centro de massa.

Passo 4

Já a energia cinética de rotação é:
Erot = 12 I omega^2
Sabemos que o momento de inércia $ I $ para um disco uniforme é $ \frac{1}{2} m R^2 $ e que $ \omega $, a velocidade angular, está relacionada à velocidade de translação pela condição de não deslizar: $ v = \omega R $.

Passo 5

Substituindo $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na equação da energia rotacional:
omega

Passo 6

Então, a energia cinética total é:
Ek = Etrans + Erot = 12 m v^2 + 14 m v^2 = 34 m v^2

Passo 7

Quando o disco sobe pelo plano inclinado, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional $ E_p $:
Ep
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ h $ é a altura máxima.

Passo 8

Pela conservação de energia, a energia cinética inicial iguala a energia potencial no ponto mais alto:
34 m v^2 = m g h

Passo 9

Podemos simplificar as massas $ m $ dos dois lados da equação:
m

Passo 10

Resolvendo para $ h $:
h

Resposta

A maior altura atingida pelo disco é $ h = \frac{3 v^{2}}{4 g} $.

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