Um disco uniforme de raio
e massa
(ou seja, com momento de inércia
) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade
. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura
atingida pelo disco.
a)
a)
Passo 1
Então, temos um exercício de Física que envolve movimento de rotação e energia. Basicamente, um disco que está girando e se movendo sem deslizar entra em um plano inclinado. Nosso objetivo é descobrir a maior altura que esse disco consegue alcançar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética rotacional e translacional, além das leis de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o disco tem duas formas de energia cinética: uma devido ao seu movimento de translação (movimento para frente) e outra devido à sua rotação. A energia cinética total $ E_k $ do disco é a soma dessas duas.
Passo 3
A energia cinética de translação é dada por:
onde $ m $ é a massa do disco e $ v $ é a velocidade do centro de massa.
Passo 4
Já a energia cinética de rotação é:
Sabemos que o momento de inércia $ I $ para um disco uniforme é $ \frac{1}{2} m R^2 $ e que $ \omega $, a velocidade angular, está relacionada à velocidade de translação pela condição de não deslizar: $ v = \omega R $.
Passo 5
Substituindo $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na equação da energia rotacional:
Passo 6
Então, a energia cinética total é:
Passo 7
Quando o disco sobe pelo plano inclinado, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional $ E_p $:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ h $ é a altura máxima.
Passo 8
Pela conservação de energia, a energia cinética inicial iguala a energia potencial no ponto mais alto:
Passo 9
Podemos simplificar as massas $ m $ dos dois lados da equação:
Passo 10
Resolvendo para $ h $:
Resposta
A maior altura atingida pelo disco é $ h = \frac{3 v^{2}}{4 g} $.
Exercícios relacionados
Considere
mols de um gás ideal submetido a um ciclo de Carnot. Considere
o menor volume assumido pelo gás durante o ciclo e
o maior. Qual a variação total de entropia do gás?
a)
a)
Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
d) , negativo
d)
Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
a) , positivo
a)
Considere
mols de um gás ideal submetido a um ciclo de Carnot. Considere
o menor volume assumido pelo gás durante o ciclo e
o maior. Qual a variação total de entropia do gás?
b)
b)