Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
a)
, positivo
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição de carga que não é uniforme, mas sim esfericamente simétrica. Isso significa que a distribuição de carga depende apenas da distância ao centro da esfera, não da direção. A questão nos dá a expressão do campo elétrico nessa distribuição: $ E = \alpha r^5
\rho® $) e determinar se as cargas são positivas ou negativas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao campo de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 $). Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos usar uma superfície esférica de raio $ r $ para simplificar os cálculos.
Passo 3
Como o campo elétrico é radial e depende apenas de $ r $, podemos simplificar a integral:
Aqui, $ 4\pi r^2 $ é a área da superfície esférica. Agora, substituímos $ E = \alpha r^5 $ na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para encontrar a densidade de carga $ \rho® $, precisamos relacionar a carga encontrada com o volume. A densidade de carga é a carga por unidade de volume, então temos:
Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ r $ é $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $, mas para derivar a carga em termos de $ r $, precisamos derivar $ Q_{enc} $ em relação a $ r $:
Agora, a densidade de carga é a derivada da carga em relação ao volume, mas como estamos em coordenadas esféricas, a relação fica:
Passo 5
Então, chegamos à expressão da densidade de carga:
Isso nos mostra que a densidade de carga varia com $ r^4 $ e o coeficiente positivo indica que as cargas são positivas, já que o campo elétrico está apontando para fora.
Resposta
A função que descreve a distribuição radial das cargas é $ \rho® = 7 \alpha \epsilon_{0} r^{4} $ e as cargas são positivas.
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Um disco uniforme de raio
e massa
(ou seja, com momento de inércia
) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade
. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura
atingida pelo disco.
a)
a)
Considere
mols de um gás ideal submetido a um ciclo de Carnot. Considere
o menor volume assumido pelo gás durante o ciclo e
o maior. Qual a variação total de entropia do gás?
a)
a)
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b)
b)
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atingida pelo disco.
d)
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