Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como E=alpha r^5, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
a) rho=6 alpha epsilon0 r^4, positivo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição de carga que não é uniforme, mas sim esfericamente simétrica. Isso significa que a distribuição de carga depende apenas da distância ao centro da esfera, não da direção. A questão nos dá a expressão do campo elétrico nessa distribuição: $ E = \alpha r^5 E = alpha r^5 éçããí \rho® $) e determinar se as cargas são positivas ou negativas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao campo de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 $). Matematicamente, isso é expresso como:
epsilon0
No nosso caso, como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos usar uma superfície esférica de raio $ r $ para simplificar os cálculos.

Passo 3

Como o campo elétrico é radial e depende apenas de $ r $, podemos simplificar a integral:
r
Aqui, $ 4\pi r^2 $ é a área da superfície esférica. Agora, substituímos $ E = \alpha r^5 $ na equação:
E cdot 4pi r^2 = Qencepsilon0
Simplificando:
4pi r^2

Passo 4

Agora, para encontrar a densidade de carga $ \rho® $, precisamos relacionar a carga encontrada com o volume. A densidade de carga é a carga por unidade de volume, então temos:
rho(r)
Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ r $ é $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $, mas para derivar a carga em termos de $ r $, precisamos derivar $ Q_{enc} $ em relação a $ r $:
rho(r) = dQencdV
Agora, a densidade de carga é a derivada da carga em relação ao volume, mas como estamos em coordenadas esféricas, a relação fica:
r

Passo 5

Então, chegamos à expressão da densidade de carga:
rho(r) = 7 alpha epsilon0 r^4
Isso nos mostra que a densidade de carga varia com $ r^4 $ e o coeficiente positivo indica que as cargas são positivas, já que o campo elétrico está apontando para fora.

Resposta

A função que descreve a distribuição radial das cargas é $ \rho® = 7 \alpha \epsilon_{0} r^{4} $ e as cargas são positivas.

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