Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como E=alpha r^5, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
d) rho=6 alpha epsilon0 r^6, negativo

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: uma distribuição não-uniforme de carga, esfericamente simétrica, gera um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como $ E = \alpha r^{5} E = alpha r^5 éçãçã \rho $) e determinar o sinal das cargas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, lembramos da Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico $ \vec{E} $ com a densidade de carga $ \rho $:
E
Neste caso, como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a divergência do campo elétrico $ \vec{E} $ que depende apenas da distância radial $ r $ é dada por:
E
Substituindo $ E® = \alpha r^{5} $:
r

Passo 4

Calculando a derivada:
ddr( alpha r^7 ) = 7 alpha r^6
Então:
nabla cdot E = 7 alpha r^6r^2 = 7 alpha r^4

Passo 5

Agora, igualamos a divergência do campo elétrico à densidade de carga dividida pela permissividade do vácuo $ \epsilon_{0} $:
epsilon0
Resolvendo para $ \rho $:
7 alpha r^4 = rhoepsilon0

Resposta

A distribuição radial das cargas é $ \rho = 7, \alpha, \epsilon_{0}, r^{4} $ e as cargas são positivas.

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