Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
d)
, negativo
d)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: uma distribuição não-uniforme de carga, esfericamente simétrica, gera um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como $ E = \alpha r^{5}
\rho $) e determinar o sinal das cargas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática.
Passo 2
Primeiro, lembramos da Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico $ \vec{E} $ com a densidade de carga $ \rho $:
Neste caso, como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a divergência do campo elétrico $ \vec{E} $ que depende apenas da distância radial $ r $ é dada por:
Substituindo $ E® = \alpha r^{5} $:
Passo 4
Calculando a derivada:
Então:
Passo 5
Agora, igualamos a divergência do campo elétrico à densidade de carga dividida pela permissividade do vácuo $ \epsilon_{0} $:
Resolvendo para $ \rho $:
Resposta
A distribuição radial das cargas é $ \rho = 7, \alpha, \epsilon_{0}, r^{4} $ e as cargas são positivas.
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