Um disco uniforme de raio
e massa
(ou seja, com momento de inércia
) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade
. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura
atingida pelo disco.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniforme com raio
e massa
que está rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal com uma velocidade
no centro de massa. Quando ele chega no final dessa superfície, ele encontra um plano inclinado, onde também continua rolando sem deslizar. A pergunta é: qual a maior altura
que o disco alcança no plano inclinado?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética rotacional e energia potencial gravitacional. Vamos analisar como a energia do disco se transforma à medida que ele sobe no plano inclinado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o disco tem energia cinética inicial devido ao seu movimento. Como ele está rolando sem deslizar, sua energia cinética total é a soma da energia cinética de translação (movimento do centro de massa) e da energia cinética de rotação.
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Onde
é o momento de inércia do disco e
é a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que para um disco uniforme, o momento de inércia
é:
Além disso, como o disco está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
:
Vamos substituir
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 4
Então, a energia cinética total inicial do disco é a soma das energias de translação e rotação:
Passo 5
Quando o disco sobe no plano inclinado até a altura máxima
, toda essa energia cinética é transformada em energia potencial gravitacional:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Igualando a energia cinética total inicial com a energia potencial no ponto mais alto:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Isolando
para encontrar a altura máxima:
Passo 8
No entanto, parece que houve um pequeno erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar:
Na energia cinética total, tínhamos:
E igualamos a
:
Portanto, a maior altura atingida pelo disco é:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere
mols de um gás ideal submetido a um ciclo de Carnot. Considere
o menor volume assumido pelo gás durante o ciclo e
o maior. Qual a variação total de entropia do gás?
b)
b)
Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
a) , positivo
a)
Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
c) , negativo
c)
Considere
mols de um gás ideal submetido a um ciclo de Carnot. Considere
o menor volume assumido pelo gás durante o ciclo e
o maior. Qual a variação total de entropia do gás?
d)
d)