Um disco uniforme de raio R e massa m (ou seja, com momento de inércia I=m R^2 / 2) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade v. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura h atingida pelo disco.
d) 3 v^22 g

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniforme com raio R e massa m que está rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal com uma velocidade v no centro de massa. Quando ele chega no final dessa superfície, ele encontra um plano inclinado, onde também continua rolando sem deslizar. A pergunta é: qual a maior altura h que o disco alcança no plano inclinado?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética rotacional e energia potencial gravitacional. Vamos analisar como a energia do disco se transforma à medida que ele sobe no plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o disco tem energia cinética inicial devido ao seu movimento. Como ele está rolando sem deslizar, sua energia cinética total é a soma da energia cinética de translação (movimento do centro de massa) e da energia cinética de rotação.
A energia cinética de translação é dada por:
KEtrans = 12 m v^2
E a energia cinética de rotação é:
KErot = 12 I omega^2
Onde I é o momento de inércia do disco e omega é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que para um disco uniforme, o momento de inércia I é:
I = 12 m R^2
Além disso, como o disco está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear v e a velocidade angular omega:
v = omega R implies omega = vR
Vamos substituir omega na expressão da energia cinética de rotação:
KErot = 12 cdot 12 m R^2 cdot ( vR )^2 = 14 m v^2

Passo 4

Então, a energia cinética total inicial do disco é a soma das energias de translação e rotação:
KEtotal = KEtrans + KErot = 12 m v^2 + 14 m v^2 = 34 m v^2

Passo 5

Quando o disco sobe no plano inclinado até a altura máxima h, toda essa energia cinética é transformada em energia potencial gravitacional:
PE = m g h
Onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Igualando a energia cinética total inicial com a energia potencial no ponto mais alto:
34 m v^2 = m g h
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
34 v^2 = g h

Passo 7

Isolando h para encontrar a altura máxima:
h = 34 cdot v^2g = 3 v^24 g

Passo 8

No entanto, parece que houve um pequeno erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar:
Na energia cinética total, tínhamos:
KEtotal = 34 m v^2
E igualamos a m g h:
34 m v^2 = m g h implies h = 3 v^24 g
Portanto, a maior altura atingida pelo disco é:

Resposta

h = 3 v^24 g

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