Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como E=alpha r^5, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
c) rho=7 alpha epsilon0 r^4, negativo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado fala sobre uma distribuição não-uniforme de carga que é simétrica esfericamente. Isso significa que a carga está distribuída de maneira diferente em diferentes pontos, mas mantém uma simetria em todas as direções a partir do centro. A gente precisa encontrar a função que descreve como a carga está distribuída radialmente, ou seja, em função da distância do centro. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico $ E $ e a densidade de carga $ \rho $, que está ligada pela Lei de Gauss.

Passo 2

A gente sabe que o campo elétrico dado é $ E = \alpha r^{5} $, e ele aponta para fora do centro da esfera. Para encontrar a densidade de carga $ \rho® $, vamos usar a forma diferencial da Lei de Gauss, que relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga:
E = alpha r^5
Como a distribuição é esfericamente simétrica, a divergência em coordenadas esféricas fica:
rho(r)

Passo 3

Substituindo o valor de $ E $ na equação da divergência, temos:
E
Derivando $ \alpha r^{7} $ em relação a $ r $, obtemos:
nabla cdot E = 1r^2 ddr (r^2 cdot alpha r^5) = 1r^2 ddr (alpha r^7)
Então:
alpha r^7

Passo 4

Agora, usando a relação da Lei de Gauss:
nabla cdot E = rhoepsilon0 implies rho = epsilon0 cdot nabla cdot E = epsilon0 cdot 7 alpha r^4
Portanto, a densidade de carga radial é:
rho = 7 alpha epsilon0 r^4

Resposta

A função que descreve a distribuição radial das cargas é $ \rho = 7 \alpha \epsilon_{0} r^{4} $ e as cargas são positivas.

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