Mostre, usando a definição de limite, que lim 1+2+3+ldots+nn=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que quando cresce sem parar, a expressão também cresce sem limite, ou seja, vai para . Para isso, vamos usar a definição de limite no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a soma S = n(n + 1)2 . Sabemos que a soma dos primeiros números naturais é dada pela fórmula:

Passo 3

Agora, substituímos essa soma na expressão original:
1 + 2 + 3 + ldots + nn = n(n + 1)2n

Passo 4

Simplificando a fração, cancelamos o n(n + 1)2n = n + 12 do numerador e do denominador:

Passo 5

A gente quer mostrar que cresce sem limite quando vai para . Intuitivamente, quando fica muito grande, também fica muito grande.

Passo 6

Formalmente, para qualquer número , a gente precisa encontrar um tal que para todo , a expressão .

Passo 7

Resolvendo a desigualdade n + 1 > 2M n > 2M - 1 :
Então, se escolhermos , para todo , teremos .

Resposta

Portanto, mostramos que:
limn to +infty 1 + 2 + 3 + ldots + nn = +infty

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