Mostre, usando a definição de limite, que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que quando
cresce sem parar, a expressão
também cresce sem limite, ou seja, vai para
. Para isso, vamos usar a definição de limite no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a soma
. Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, substituímos essa soma na expressão original:
Passo 4
Simplificando a fração, cancelamos o
do numerador e do denominador:
Passo 5
A gente quer mostrar que
cresce sem limite quando
vai para
. Intuitivamente, quando
fica muito grande,
também fica muito grande.
Passo 6
Formalmente, para qualquer número
, a gente precisa encontrar um
tal que para todo
, a expressão
.
Passo 7
Resolvendo a desigualdade
:
Então, se escolhermos
, para todo
, teremos
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule o ângulo entre os planos dados pelas equações
e
;
Discuta a posição relativa entre os pares de retas
e
. Caso sejam concorrentes, determine, também, o ponto de interseção entre
e
.
Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo aos vetores
e
.