Discuta e resolva os sistemas:
a) x+y+z & =3 2 x-y+2 z & =5 x+4 y-5 z & =4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z). Para resolver esse sistema, vamos utilizar métodos de resolução de sistemas lineares, especificamente o método da eliminação. Isso nos ajudará a encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + y + z = 3 (Equação 1) 2x - y + 2z = 5 (Equação 2) x + 4y - 5z = 4 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos escolher eliminar a variável x. Para isso, vamos ajustar as equações de modo que o coeficiente de x seja igual em duas delas, facilitando a eliminação quando subtrairmos uma equação da outra.

Passo 4

Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 para igualar o coeficiente de x com o da Equação 2:
2(x + y + z) = 2(3) implies 2x + 2y + 2z = 6 (Equação 4) çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 4:
(2x + 2y + 2z) - (2x - y + 2z) = 6 - 5 2x + 2y + 2z - 2x + y - 2z = 1 3y = 1 implies y = 13

Passo 5

Com o valor de y = 13 encontrado, vamos substituir esse valor na Equação 1 para relacionar x e z:
x + (13) + z = 3 x + z = 3 - 13 x + z = 83 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora, substituímos y = 13 na Equação 3 para obter outra relação entre x e z:
x + 4(13) - 5z = 4 x + 43 - 5z = 4 x - 5z = 4 - 43 x - 5z = 83 (Equação 6) çã

Passo 7

Temos agora um sistema com duas equações e duas incógnitas:
x + z = 83 (Equação 5) x - 5z = 83 (Equação 6) çãçã
Vamos subtrair a Equação 5 da Equação 6 para eliminar x:
(x - 5z) - (x + z) = 83 - 83 x - 5z - x - z = 0 -6z = 0 implies z = 0

Passo 8

Com z = 0, substituímos na Equação 5 para encontrar x:
x + 0 = 83 implies x = 83

Passo 9

Agora que temos os valores de x = 83 e z = 0, já tínhamos encontrado y = 13 no Passo 4.

Resposta

A solução do sistema é:
x = 83, y = 13, z = 0

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