Determine valores de e para que as matrizes e sejam linha-equivalentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de , e de forma que as duas matrizes dadas sejam linha-equivalentes. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente trabalhando com operações elementares de linha para transformar uma matriz em outra. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas operações e comparar as matrizes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas matrizes serem linha-equivalentes. Duas matrizes são linha-equivalentes se uma pode ser transformada na outra através de uma sequência de operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero ou somar múltiplos de uma linha a outra. Isso implica que elas têm o mesmo posto (rank).
Passo 3
Vamos começar analisando as matrizes fornecidas:
Matriz 1:
Matriz 2:
Nosso objetivo é encontrar , e de modo que possamos transformar a Matriz 1 na Matriz 2 usando operações de linha.
Passo 4
Vamos começar transformando a Matriz 2 para uma forma mais simples (forma escalonada) usando operações de linha:
Primeira Operação: Use a primeira linha para eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linha.
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A matriz fica:
Segunda Operação: Eliminar o elemento da terceira linha na segunda coluna.
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A forma escalonada da Matriz 2 é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar operações semelhantes na Matriz 1 para encontrar as condições em , e .
Primeira Operação: Vamos dividir a primeira linha por 2 para facilitar os cálculos:
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A Matriz 1 fica:
Segunda Operação: Usar a primeira linha para eliminar o elemento da terceira linha.
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A matriz fica:
Terceira Operação: Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para simplificar:
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A matriz está agora:
Quarta Operação: Usar a segunda linha para eliminar o elemento da terceira linha.
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A forma escalonada da Matriz 1 é:
Passo 6
Para que as duas matrizes sejam linha-equivalentes, suas formas escalonadas devem ser proporcionalmente iguais. Observando as duas formas escalonadas:
Matriz 2:
Matriz 1:
Comparando os elementos correspondentes:
Primeira Linha:
Terceira Linha:
Segunda Linha: Já está coerente com a forma escalonada da Matriz 2.
Elementos fora da diagonal principal: Para que as matrizes sejam equivalentes, devemos ajustar de forma que a segunda coluna da Primeira Matriz corresponda à segunda coluna da Segunda Matriz. Contudo, como e a segunda linha já está ajustada, o valor de não interfere diretamente na equivalência através das operações realizadas.
Portanto, pode ser qualquer valor, mas para uma correspondência exata, consideramos .
Resposta
Os valores que tornam as matrizes linha-equivalentes são: