Um dispositivo cilindro-pistão contém 1 kg de ar a 100 kPa e 300 K . Através de um processo politrópico reversível (k=1.3), o ar é comprimido até que a sua temperatura seja 500 K . Assumindo que qualquer transferência de calor para o ar provém de um reservatório térmico a 325^circ C e, se cedida pelo ar, efetua-se com o ambiente a 300 K :
c) Determine o calor transferido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pistão com 1 kg de ar inicialmente a 100 kPa e 300 K. Esse ar é comprimido de forma politrópica reversível com o índice até atingir uma temperatura de 500 K. Queremos descobrir quanto de calor foi transferido nesse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de processos politrópicos, troca de calor em sistemas termodinâmicos e a relação entre as temperaturas dos reservatórios térmicos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo politrópico. É um processo em que T2T1 = ( V1V2 )^k-1 , onde P2 V2T2 = P1 V1T1 é a pressão, é o volume e é o índice politrópico.
Como sabemos a temperatura inicial e final, podemos usar a relação dos gases ideais para relacionar as condições antes e depois do processo:
Mas, para facilitar, podemos usar também a relação:
No entanto, para encontrar o calor transferido, vamos precisar calcular o trabalho realizado e a variação da energia interna.

Passo 3

A variação da energia interna ( De) para um gás ideal é dada por:
Onde:
  • é a massa do ar,
  • é a capacidade calorífica a volume constante,
  • é a variação de temperatura.
Como o ar é tratado como um gás ideal, podemos usar para o ar, que é aproximadamente .

Passo 4

Vamos calcular De:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o trabalho ( W = P1 V1 - P2 V2k - 1 ) realizado durante o processo politrópico. A fórmula para o trabalho em um processo politrópico é:
Q = De
Mas para simplificar, podemos usar a relação entre trabalho, calor e variação da energia interna:
Portanto, precisamos encontrar o para depois calcular o .

Passo 6

Usando a relação dos gases ideais V1 = mRT1P1 = 1 times 0,287 times 300100 = 0,861 , m^3 , podemos encontrar o volume inicial ( ):
Aqui, para o ar.

Passo 7

Com o processo politrópico, podemos relacionar V2 = V1 ( T1T2 )^1k - 1 = 0,861 times ( 300500 )^10,3 approx 0,861 times 0,5488 approx 0,472 , m^3 com :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula do trabalho:
W = P1 V1 - P2 V2k - 1
Primeiro, precisamos encontrar P2 = mRT2V2 = 1 times 0,287 times 5000,472 approx 303,6 , kPa . Usando W = 100 times 0,861 - 303,6 times 0,4721,3 - 1 = 86,1 - 143,20,3 = -57,10,3 approx -190,3 , kJ :
Agora, calculando :

Passo 9

Com Q = De e , podemos encontrar o calor transferido :

Resposta

O calor transferido durante o processo é de aproximadamente . Isso indica que o sistema liberou 46,7 kJ de calor para o ambiente.

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