Um dispositivo cilindro-pistão contém 1 kg de ar a 100 kPa e 300 K . Através de um processo politrópico reversível (k=1.3), o ar é comprimido até que a sua temperatura seja 500 K . Assumindo que qualquer transferência de calor para o ar provém de um reservatório térmico a 325^circ C e, se cedida pelo ar, efetua-se com o ambiente a 300 K :
b) Calcule o trabalho efetuado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro com 1 kg de ar inicialmente a 100 kPa e 300 K. Esse ar é comprimido de forma reversível através de um processo politrópico com o índice até atingir 500 K. Precisamos calcular o trabalho realizado nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um processo politrópico e como calcular o trabalho em tais processos usando as equações apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um processo politrópico. Em termodinâmica, um processo politrópico é aquele onde , onde é a pressão, é o volume e é o índice politrópico. Esse tipo de processo generaliza outros processos como isoterma ( ) e adiabático ( ).

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado durante um processo politrópico, usamos a seguinte fórmula:
W = p2 V2 - p1 V11 - k
Onde:
  • é o trabalho realizado,
  • e são a pressão e o volume iniciais,
  • e são a pressão e o volume finais,
  • é o índice politrópico.

Passo 4

Mas, antes de aplicar essa fórmula, precisamos encontrar os volumes iniciais e finais. Vamos usar a equação dos gases ideais:
pV = mRT
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a massa,
  • é a constante específica do ar ( ),
  • é a temperatura.

Passo 5

Calculando o volume inicial ( V1 = mRT1p1 = 1 times 0,287 times 300100 = 0,861 , m^3 ):

Passo 6

Sabemos que o processo é polytropic, então T2T1 = ( V1V2 )^k-1 . Também, a relação entre as temperaturas é:
500300 = ( 0,861V2 )^0,3
Substituindo os valores:
( 500300 )^10,3 = 0,861V2
Resolvendo para V2 = 0,861( 53 )^3,3 approx 0,861 / 4,7568 approx 0,181 , m^3 :

Passo 7

Agora que temos p2 = mRT2V2 = 1 times 0,287 times 5000,181 approx 794,5 , kPa e , podemos encontrar as pressões finais usando a equação dos gases ideais:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o trabalho usando a fórmula do processo politrópico:
W = p2 V2 - p1 V11 - k = 794,5 times 0,181 - 100 times 0,8611 - 1,3
Calculando os termos:
W = 143,6 - 86,1-0,3 = 57,5-0,3 approx -191,7 , kJ

Resposta

O trabalho efetuado no processo de compressão é aproximadamente .

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