Um dispositivo conhecido como bobina de Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coaxiais, de raio
, com 200 espiras, separadas por uma distância
. As duas bobinas conduzem correntes iguais
no mesmo sentido. Determine o módulo do campo magnético no ponto
, situado no eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina de Helmholtz, que na verdade são duas bobinas circulares alinhadas, cada uma com raio
e 200 espiras. Elas estão separadas por uma distância
, e ambas têm correntes iguais de
indo no mesmo sentido. Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo do campo magnético no ponto
, que está exatamente no meio do caminho entre as duas bobinas, ou seja, no eixo central delas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo magnético gerado por uma bobina circular no seu eixo. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é o campo magnético,
é o número de espiras,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente,
é o raio da bobina, e
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro da bobina. Vamos precisar aplicar essa fórmula para cada uma das duas bobinas e somar os campos resultantes no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distância
do ponto
até cada uma das bobinas. Como o ponto
está exatamente no meio entre elas e a distância total entre as bobinas é
, a distância de
até cada bobina é metade disso. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do campo magnético para uma única bobina. Sabemos que cada bobina tem
espiras, corrente
, raio
, e a distância
.
A permeabilidade do vácuo
é
.
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculamos
e
:
Somando esses dois valores:
Agora, elevamos esse resultado à potência de
:
Passo 5
Continuando com a simplificação, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
Calculando isso passo a passo:
Então, o numerador é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos olhar para o denominador:
Vamos calcular a parte dentro dos parênteses primeiro para um valor genérico de
, mas como não foi dado um valor específico para
, vamos manter a expressão em termos de
.
Passo 7
Juntando tudo, o campo magnético de uma bobina no ponto
é:
Como temos duas bobinas, o campo total no ponto
será o dobro desse valor:
Resposta
O módulo do campo magnético no ponto
é