Um dispositivo conhecido como bobina de Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coaxiais, de raio R=25 cm, com 200 espiras, separadas por uma distância ^x R. As duas bobinas conduzem correntes iguais i=12 mA no mesmo sentido. Determine o módulo do campo magnético no ponto P, situado no eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.
B=N mu0 I R^22(x^2+R^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina de Helmholtz, que na verdade são duas bobinas circulares alinhadas, cada uma com raio R = 25 cm e 200 espiras. Elas estão separadas por uma distância xR, e ambas têm correntes iguais de i = 12 mA indo no mesmo sentido. Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo do campo magnético no ponto P, que está exatamente no meio do caminho entre as duas bobinas, ou seja, no eixo central delas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo magnético gerado por uma bobina circular no seu eixo. A fórmula que vamos usar é:
B = N mu0 I R^22(x^2+R^2)^3 / 2
Aqui, B é o campo magnético, N é o número de espiras, mu0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente, R é o raio da bobina, e x é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro da bobina. Vamos precisar aplicar essa fórmula para cada uma das duas bobinas e somar os campos resultantes no ponto P.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância x do ponto P até cada uma das bobinas. Como o ponto P está exatamente no meio entre elas e a distância total entre as bobinas é xR, a distância de P até cada bobina é metade disso. Então:
x = xR2 = 25 cm times x2 = 12,5x cm

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do campo magnético para uma única bobina. Sabemos que cada bobina tem N = 200 espiras, corrente I = 12 mA = 0,012 A, raio R = 25 cm = 0,25 m, e a distância x = xR2 = x times 0,252 = 0,125x m.
A permeabilidade do vácuo mu0 é 4pi times 10^-7 T·m/A.
Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculamos (0,125x)^2 e (0,25)^2:
(0,125x)^2 = 0,015625x^2
(0,25)^2 = 0,0625
Somando esses dois valores:
0,015625x^2 + 0,0625 = 0,0625 + 0,015625x^2
Agora, elevamos esse resultado à potência de 3/2:
(0,0625 + 0,015625x^2)^3/2

Passo 5

Continuando com a simplificação, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
200 times 4pi times 10^-7 times 0,012 times 0,0625 = 200 times 4pi times 10^-7 times 0,012 times 0,0625
Calculando isso passo a passo:
  1. 4pi approx 12,566
  2. 12,566 times 10^-7 = 1,2566 times 10^-6
  3. 1,2566 times 0,012 = 1,5079 times 10^-5
  4. 1,5079 times 0,0625 = 9,4244 times 10^-7
  5. 200 times 9,4244 times 10^-7 = 1,88488 times 10^-4
Então, o numerador é aproximadamente 1,88488 times 10^-4.

Passo 6

Agora, vamos olhar para o denominador:
2 (0,0625 + 0,015625x^2)^3/2
Vamos calcular a parte dentro dos parênteses primeiro para um valor genérico de x, mas como não foi dado um valor específico para x, vamos manter a expressão em termos de x.

Passo 7

Juntando tudo, o campo magnético de uma bobina no ponto P é:
Buma bobina = 1,88488 times 10^-42 (0,0625 + 0,015625x^2)^3/2
Como temos duas bobinas, o campo total no ponto P será o dobro desse valor:
Btotal = 2 times Buma bobina = 2 times 1,88488 times 10^-42 (0,0625 + 0,015625x^2)^3/2 = 1,88488 times 10^-4(0,0625 + 0,015625x^2)^3/2

Resposta

O módulo do campo magnético no ponto P é
B = 1,88488 times 10^-4(0,0625 + 0,015625x^2)^3/2 T

Exercícios relacionados