Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o fator
para esta corda do piano?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo ou um bloco preso a uma mola que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Sabemos que após 4,00 segundos, ele perde metade da sua energia. O que precisamos encontrar é o fator
para essa corda do piano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e a definição do fator
, que é uma medida de quão “puro” é o sistema oscilante, ou seja, quanta energia ele perde com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como a energia de um sistema oscilante decai com o tempo. Em oscilações amortecidas, a energia
em função do tempo pode ser expressa como:
Onde:
-
é a energia inicial, -
é o tempo, -
é a constante de tempo, que relaciona quanto tempo leva para a energia decair.
Passo 3
Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Substituindo
s:
Passo 4
Agora, vamos relacionar
com o fator
. A definição do fator
em sistemas oscilantes é:
Onde
é a frequência angular, dada por:
Com
Hz:
Passo 5
Finalmente, substituímos
e
na fórmula do
:
Resposta
O fator
para a corda do piano é aproximadamente 9514.