Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o fator para esta corda do piano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo ou um bloco preso a uma mola que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Sabemos que após 4,00 segundos, ele perde metade da sua energia. O que precisamos encontrar é o fator para essa corda do piano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e a definição do fator , que é uma medida de quão “puro” é o sistema oscilante, ou seja, quanta energia ele perde com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como a energia de um sistema oscilante decai com o tempo. Em oscilações amortecidas, a energia em função do tempo pode ser expressa como:
Onde:
  • é a energia inicial,
  • é o tempo,
  • é a constante de tempo, que relaciona quanto tempo leva para a energia decair.

Passo 3

Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que , então:
Substituindo s:

Passo 4

Agora, vamos relacionar com o fator . A definição do fator em sistemas oscilantes é:
Onde é a frequência angular, dada por:
Com Hz:

Passo 5

Finalmente, substituímos e na fórmula do :

Resposta

O fator para a corda do piano é aproximadamente 9514.

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