Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o fator Q para esta corda do piano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo ou um bloco preso a uma mola que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Sabemos que após 4,00 segundos, ele perde metade da sua energia. O que precisamos encontrar é o fator para essa corda do piano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e a definição do fator , que é uma medida de quão “puro” é o sistema oscilante, ou seja, quanta energia ele perde com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como a energia de um sistema oscilante decai com o tempo. Em oscilações amortecidas, a energia E(t) = E0 , e^-t/tau em função do tempo pode ser expressa como:
Onde:
  • é a energia inicial,
  • é o tempo,
  • é a constante de tempo, que relaciona quanto tempo leva para a energia decair.

Passo 3

Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial, ou seja:
E(t)E0 = 12 = e^-t/tau
Vamos resolver essa equação para encontrar ln(12) = -ttau . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
-ln(2) = -ttau implies tau = tln(2)
Sabemos que tau = 4,00ln(2) approx 4,000,693 approx 5,77 s , então:
Substituindo s:

Passo 4

Agora, vamos relacionar Q = omega tau com o fator omega = 2pi f . A definição do fator omega = 2pi times 262 approx 1648 rad/s em sistemas oscilantes é:
Onde é a frequência angular, dada por:
Com Hz:

Passo 5

Finalmente, substituímos Q = 1648 times 5,77 approx 9514 e na fórmula do :

Resposta

O fator para a corda do piano é aproximadamente 9514.

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