A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,60 m de raio o módulo do campo elétrico é igual a um terço do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de plástico uniformemente carregado com raio de . Queremos descobrir a que distância ao longo do eixo desse disco o campo elétrico tem um módulo igual a um terço do campo elétrico no centro do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico produzido por uma distribuição de carga em um disco.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do campo elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado. O campo elétrico E(x) = sigma2varepsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2) a uma distância do centro do disco é dado por:
onde:
  • é a densidade superficial de carga,
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é o raio do disco.

Passo 3

Primeiro, calculamos o campo elétrico no centro do disco ( Ecentro = sigma2varepsilon0 (1 - 0raiz0^2 + R^2) = sigma2varepsilon0 ):

Passo 4

Queremos que o campo elétrico a uma distância E(x) = 13 Ecentro = 13 cdot sigma2varepsilon0 = sigma6varepsilon0 seja um terço do campo no centro:

Passo 5

Igualamos a expressão do campo elétrico a um terço do campo no centro:
sigma2varepsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2) = sigma6varepsilon0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 1 - xraizx^2 + R^2 = 13 :

Passo 6

Isolamos o termo com xraizx^2 + R^2 = 1 - 13 = 23 :

Passo 7

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(xraizx^2 + R^2)^2 = (23)^2 implies x^2x^2 + R^2 = 49

Passo 8

Resolvemos para 9x^2 = 4x^2 + 4R^2 implies 5x^2 = 4R^2 implies x^2 = 4R^25 implies x = 2Rraiz5 :

Passo 9

Substituímos o valor de x = 2 times 0,60raiz5 approx 1,202,236 approx 0,536 , m :

Resposta

A distância ao longo do eixo do disco onde o campo elétrico é igual a um terço do campo no centro é aproximadamente .

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