Uma esfera não-condutora com
de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de
. Determine o módulo do campo elétrico a distâncias de: a
do centro da esfera.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo uma esfera não-condutora com carga. O enunciado nos dá o raio da esfera, a densidade volumétrica de carga e pede para determinar o campo elétrico a uma determinada distância do centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria como essa.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a carga total presente na esfera. A densidade volumétrica de carga (
) nos diz quanto de carga há por unidade de volume. A carga total (
) pode ser encontrada multiplicando a densidade pelo volume da esfera.
A fórmula para o volume da esfera é:
onde
é o raio da esfera.
Passo 3
Vamos calcular o volume da esfera com raio
, que é igual a
:
Passo 4
Agora, multiplicamos o volume pela densidade de carga para encontrar a carga total:
Passo 5
Com a carga total conhecida, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico a uma distância de
(ou
) do centro da esfera. A Lei de Gauss para uma esfera carregada uniformemente é dada por:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a constante de permissividade do vácuo ( ), -
é a carga total, -
é a distância do centro da esfera.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
- Calcule o denominador:
. - Divida a carga total pelo quadrado da distância:
. - Divida o resultado da segunda etapa pelo denominador da primeira etapa:
Resposta
O módulo do campo elétrico a
do centro da esfera é aproximadamente
.
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