Uma esfera não-condutora com 5,0 cm de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de 3,0 mu C / m^3. Determine o módulo do campo elétrico a distâncias de: a 10,0 cm do centro da esfera.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo uma esfera não-condutora com carga. O enunciado nos dá o raio da esfera, a densidade volumétrica de carga e pede para determinar o campo elétrico a uma determinada distância do centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria como essa.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a carga total presente na esfera. A densidade volumétrica de carga ( rho) nos diz quanto de carga há por unidade de volume. A carga total ( Q) pode ser encontrada multiplicando a densidade pelo volume da esfera.
A fórmula para o volume da esfera é:
V = 43 pi r^3
onde r é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera com raio 5,0 cm, que é igual a 0,05 m:
V = 43 pi (0,05)^3 approx 43 pi (0,000125) approx 0,0005236 m^3

Passo 4

Agora, multiplicamos o volume pela densidade de carga para encontrar a carga total:
Q = rho times V = 3,0 times 10^-6 C/m^3 times 0,0005236 m^3 approx 1,5708 times 10^-9 C

Passo 5

Com a carga total conhecida, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico a uma distância de 10,0 cm (ou 0,10 m) do centro da esfera. A Lei de Gauss para uma esfera carregada uniformemente é dada por:
E = 14 pi varepsilon0 Qr^2
onde:
  • E é o campo elétrico,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( approx 8,85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2)),
  • Q é a carga total,
  • r é a distância do centro da esfera.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
E = 14 pi times 8,85 times 10^-12 times 1,5708 times 10^-9(0,10)^2
Calculando passo a passo:
  1. Calcule o denominador: 4 pi times 8,85 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-10.
  2. Divida a carga total pelo quadrado da distância: 1,5708 times 10^-90,01 = 1,5708 times 10^-7.
  3. Divida o resultado da segunda etapa pelo denominador da primeira etapa:
E approx 1,5708 times 10^-71,112 times 10^-10 approx 1,413 times 10^3 N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico a 10,0 cm do centro da esfera é aproximadamente 1,41 times 10^3 , N/C.

Exercícios relacionados