Uma esfera não-condutora com de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de . Determine o módulo do campo elétrico a distâncias de: a do centro da esfera.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo uma esfera não-condutora com carga. O enunciado nos dá o raio da esfera, a densidade volumétrica de carga e pede para determinar o campo elétrico a uma determinada distância do centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria como essa.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a carga total presente na esfera. A densidade volumétrica de carga ( ) nos diz quanto de carga há por unidade de volume. A carga total ( ) pode ser encontrada multiplicando a densidade pelo volume da esfera.
A fórmula para o volume da esfera é:
onde é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera com raio , que é igual a :

Passo 4

Agora, multiplicamos o volume pela densidade de carga para encontrar a carga total:

Passo 5

Com a carga total conhecida, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico a uma distância de (ou ) do centro da esfera. A Lei de Gauss para uma esfera carregada uniformemente é dada por:
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ),
  • é a carga total,
  • é a distância do centro da esfera.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
  1. Calcule o denominador: .
  2. Divida a carga total pelo quadrado da distância: .
  3. Divida o resultado da segunda etapa pelo denominador da primeira etapa:

Resposta

O módulo do campo elétrico a do centro da esfera é aproximadamente .

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