A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado, de raio R, o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo elétrico no centro do disco? R: .

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos encontrar a distância ao longo do eixo de um disco uniformemente carregado onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática relacionados ao campo elétrico de discos carregados.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como calcular o campo elétrico no centro do disco. Para um disco de raio e carga uniformemente distribuída, o campo elétrico no centro é dado por:
onde é a densidade superficial de carga e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico a uma distância ao longo do eixo do disco. A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo de um disco carregado é:
Essa fórmula leva em conta a contribuição de cada elemento de carga no disco para o campo total no ponto considerado.

Passo 4

Queremos encontrar a distância onde o campo elétrico é metade do campo no centro, ou seja:
Substituindo as expressões dos campos, temos:

Passo 5

Simplificando a equação acima:
Isolando o termo com :

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :

Passo 8

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo por 3:

Passo 9

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A distância ao longo do eixo onde o campo elétrico é metade do campo no centro do disco é .

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