Dois indutores, e estão ligados em paralelo e estão separados por uma distância tão grande que o campo magnético de um não pode afetar o do outro. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por
Sugestão: estude novamente as seções que tratam de resistores em paralelo e capacitores em série. (b) Qual é a generalização da expressão do item (a) para indutores em paralelo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois indutores, e , ligados em paralelo. A distância entre eles é tão grande que o campo magnético de um não interfere no outro. Nosso objetivo é mostrar que a indutância equivalente ( ) é dada por:
E depois generalizar essa expressão para indutores em paralelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente a analogia entre indutores e resistores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como resistores se comportam quando estão em paralelo. Para resistores, a resistência equivalente ( ) é dada por:
Essa relação nos mostra que, quando dois componentes estão em paralelo, suas inversas somam para dar a inversa do equivalente.

Passo 3

Agora, vamos traçar um paralelo com indutores. Em circuitos de corrente alternada (AC), a impedância dos indutores é análoga à resistência nos resistores. A impedância de um indutor é dada por , onde é a unidade imaginária e é a frequência angular.
Assim, podemos aplicar a mesma lógica dos resistores em paralelo para os indutores, substituindo a resistência pela impedância do indutor.

Passo 4

Aplicando a fórmula dos resistores em paralelo para as impedâncias dos indutores, temos:
Simplificando em todos os termos:

Passo 5

Portanto, demonstramos que a indutância equivalente de dois indutores em paralelo é dada por:

Passo 6

Agora, para generalizar essa expressão para indutores em paralelo ( ), seguimos a mesma lógica. A indutância equivalente será tal que a soma das inversas das indutâncias individuais é igual à inversa da indutância equivalente.

Passo 7

Matematicamente, isso fica assim:
Ou de forma mais compacta:

Resposta

(a) A indutância equivalente de dois indutores em paralelo é:
(b) A generalização para indutores em paralelo é:

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