- A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z 3=0? A. 7/3 B. 2/5 C. 2/3 D. 4 E. 5/3
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar a distância entre um ponto e um plano. O enunciado nos dá o ponto $ P (2, -1, 2) $ e o plano $ \pi: 2x - 2y - z + 3 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano, que envolve os coeficientes das variáveis no plano e as coordenadas do ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano. A equação está na forma geral $ Ax + By + Cz + D = 0 $, onde:
- $ A = 2 $
- $ B = -2 $
- $ C = -1 $
- $ D = 3 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula que nos dá a distância $ d $ entre o ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e o plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
Essa fórmula basicamente calcula o valor absoluto da substituição das coordenadas do ponto na equação do plano, dividido pelo módulo do vetor normal ao plano.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Calculando o numerador:
Então, o numerador fica $ |7| = 7 $.
Passo 6
Agora, calculando o denominador:
Passo 7
Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A distância entre o ponto $ P(2, -1, 2) $ e o plano $ \pi: 2x - 2y - z + 3 = 0 $ é $ \frac{7}{3} $. Portanto, a opção correta é a A. $ \frac{7}{3} $.