1. A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z 3=0? A. 7/3 B. 2/5 C. 2/3 D. 4 E. 5/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar a distância entre um ponto e um plano. O enunciado nos dá o ponto $ P (2, -1, 2) $ e o plano $ \pi: 2x - 2y - z + 3 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano, que envolve os coeficientes das variáveis no plano e as coordenadas do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano. A equação está na forma geral $ Ax + By + Cz + D = 0 $, onde:
  • $ A = 2 $
  • $ B = -2 $
  • $ C = -1 $
  • $ D = 3 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula que nos dá a distância $ d $ entre o ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e o plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
d
Essa fórmula basicamente calcula o valor absoluto da substituição das coordenadas do ponto na equação do plano, dividido pelo módulo do vetor normal ao plano.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
d = |2 cdot 2 + (-2) cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 3|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2

Passo 5

Calculando o numerador:
2 cdot 2 = 4
-2 cdot -1 = 2
-1 cdot 2 = -2
4 + 2 - 2 + 3 = 7
Então, o numerador fica $ |7| = 7 $.

Passo 6

Agora, calculando o denominador:
2^2 = 4
(-2)^2 = 4
(-1)^2 = 1
raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 7

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
d = 73

Resposta

A distância entre o ponto $ P(2, -1, 2) $ e o plano $ \pi: 2x - 2y - z + 3 = 0 $ é $ \frac{7}{3} $. Portanto, a opção correta é a A. $ \frac{7}{3} $.

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