Distribuição Amostral da Diferença de Duas Médias. Consideremos duas populações normalmente distribuídas, X sim N(mu1, sigma1^2) e Y sim N(mu2, sigma2^2). Sorteiam-se duas amostras aleatórias independentes: a da primeira população de tamanho n e da segunda de tamanho m. Qual a distribuição amostral de barX? E a de barY?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas populações que seguem uma distribuição normal, ou seja, são aquelas “em forma de sino” que a gente vê em gráficos. Temos duas populações, X e Y, cada uma com sua média (μ₁ e μ₂) e variância (σ₁² e σ₂²). O que a gente quer descobrir é como ficam as distribuições das médias das amostras que tiramos dessas populações. Basicamente, qual é a distribuição de e de quando tiramos amostras de tamanho n e m, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição amostral das médias e propriedades das distribuições normais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira população, X. Sabemos que X segue uma distribuição normal com média μ₁ e variância σ₁², ou seja, X ~ N(μ₁, σ₁²). Quando tiramos uma amostra de tamanho n dessa população, a média amostral, que chamamos de , também segue uma distribuição normal. Mas como são diferentes a média e a variância dessa distribuição amostral?

Passo 3

A média da distribuição amostral de é igual à média da população, μ₁. Isso significa que, em média, a média das amostras vai ser μ₁. A variância da distribuição amostral de é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra, ou seja, σ₁²/n. Isso acontece porque, conforme aumentamos o tamanho da amostra, a variabilidade da média amostral diminui.

Passo 4

Então, resumindo para : Ela segue uma distribuição normal com média igual a μ₁ e variância igual a σ₁²/n. Em termos de notação matemática, escrevemos isso como:
barX sim N(mu1, sigma1^2n)

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a segunda população, Y. A população Y segue uma distribuição normal com média μ₂ e variância σ₂², ou seja, Y ~ N(μ₂, σ₂²). Ao tirar uma amostra de tamanho m dessa população, a média amostral, , também terá uma distribuição normal.

Passo 6

A média da distribuição amostral de será igual à média da população Y, que é μ₂. A variância, por sua vez, será a variância da população dividida pelo tamanho da amostra, ou seja, σ₂²/m.

Passo 7

Portanto, para : Ela segue uma distribuição normal com média μ₂ e variância σ₂²/m. Em notação matemática:
barY sim N(mu2, sigma2^2m)

Resposta

A distribuição amostral de é normal com média μ₁ e variância σ₁²/n, e a distribuição amostral de é normal com média μ₂ e variância σ₂²/m. Ou seja,
barX sim N(mu1, sigma1^2n)
barY sim N(mu2, sigma2^2m)

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