A distribuição X dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que X sim N(5.4,1.69); e a distribuição Y dos salários do sexo feminino é tal que Y sim N(5.4,2.25). Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma X1, X2, ldots, X16 com 16 homens e outra Y1, Y2, ldots, Y25 com 25 mulheres. Qual é o valor de d tal que P(|barD|>d)=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ d $ tal que a probabilidade de a diferença das médias dos salários masculinos e femininos ser maior que $ d $ em valor absoluto seja de 5%. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuições Normais e Intervalos de Confiança. Vamos precisar entender como calcular a diferença entre duas médias e aplicar a teoria da distribuição normal para chegar no resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as distribuições das médias dos salários tanto para homens quanto para mulheres. Sabemos que:
  • Para os homens: $ X \sim \mathrm{N}(5.4, 1.69) $
  • Para as mulheres: $ Y \sim \mathrm{N}(5.4, 2.25) $
Aqui, o primeiro número (5.4) é a média dos salários em mil reais, e o segundo número (1.69 e 2.25) são as variâncias das distribuições.

Passo 3

Como estamos trabalhando com amostras, precisamos calcular o desvio padrão das médias amostrais. A fórmula para o desvio padrão da média amostral é:
sigmabarX = sigmaraizn
Onde:
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população
  • $ n $ é o tamanho da amostra
Para os homens:
sigma
Para as mulheres:
n

Passo 4

Agora, queremos a distribuição da diferença entre as médias $ \bar{X} - \bar{Y} $. Quando temos duas variáveis independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias:
barX - barY
O desvio padrão dessa diferença é:
Var(barX - barY) = Var(barX) + Var(barY) = 0.325^2 + 0.3^2 = 0.1056 + 0.09 = 0.1956

Passo 5

Queremos encontrar $ d $ tal que $ P(|\bar{D}| > d) = 0.05 $. Isso significa que queremos um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias. Para distribuições normais, usamos o valor crítico $ z $ correspondente a 95% de confiança, que é aproximadamente 1.96.

Passo 6

Finalmente, calculamos $ d $ multiplicando o valor crítico pelo desvio padrão da diferença:
d

Resposta

O valor de $ d $ é aproximadamente 0.866 mil reais.

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