A distribuição
dos salários, em s.m., dos operários do sexo masculino de uma grande empresa é tal que
; e a distribuição
dos salários do sexo feminino é tal que
. Sorteiam-se duas amostras casuais simples, uma
com 16 homens e outra
com 25 mulheres. Qual é o valor de
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ d $ tal que a probabilidade de a diferença das médias dos salários masculinos e femininos ser maior que $ d $ em valor absoluto seja de 5%. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuições Normais e Intervalos de Confiança. Vamos precisar entender como calcular a diferença entre duas médias e aplicar a teoria da distribuição normal para chegar no resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as distribuições das médias dos salários tanto para homens quanto para mulheres. Sabemos que:
- Para os homens: $ X \sim \mathrm{N}(5.4, 1.69) $
- Para as mulheres: $ Y \sim \mathrm{N}(5.4, 2.25) $
Aqui, o primeiro número (5.4) é a média dos salários em mil reais, e o segundo número (1.69 e 2.25) são as variâncias das distribuições.
Passo 3
Como estamos trabalhando com amostras, precisamos calcular o desvio padrão das médias amostrais. A fórmula para o desvio padrão da média amostral é:
Onde:
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população
- $ n $ é o tamanho da amostra
Para os homens:
Para as mulheres:
Passo 4
Agora, queremos a distribuição da diferença entre as médias $ \bar{X} - \bar{Y} $. Quando temos duas variáveis independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias:
O desvio padrão dessa diferença é:
Passo 5
Queremos encontrar $ d $ tal que $ P(|\bar{D}| > d) = 0.05 $. Isso significa que queremos um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias. Para distribuições normais, usamos o valor crítico $ z $ correspondente a 95% de confiança, que é aproximadamente 1.96.
Passo 6
Finalmente, calculamos $ d $ multiplicando o valor crítico pelo desvio padrão da diferença:
Resposta
O valor de $ d $ é aproximadamente 0.866 mil reais.