Tabela: Considere a seguinte distribuição de probabilidade:
P(X=x)= 0.2 & se x=1 0.3 & se x=2 0.5 & se x=3
Verifique se esta é uma distribuição válida e calcule E(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve uma distribuição de probabilidade para uma variável aleatória $ X $. Nosso objetivo é verificar se essa distribuição é válida e, depois, calcular o valor esperado de $ X $, que é basicamente a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma distribuição de probabilidade válida deve somar 1 e que o valor esperado é a soma dos produtos dos valores possíveis de $ X $ pelas suas respectivas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a distribuição dada é válida. Para isso, precisamos somar todas as probabilidades associadas aos diferentes valores de $ X $ e ver se essa soma dá 1. A distribuição fornecida é:
X
Vamos somar essas probabilidades:
P(X=1) = 0.2, P(X=2) = 0.3, P(X=3) = 0.5
Como a soma das probabilidades é exatamente 1, isso confirma que essa é, de fato, uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é uma medida que nos dá uma ideia do “centro” da distribuição, ou seja, qual valor $ X $ tende a assumir em média. A fórmula para o valor esperado de uma variável discreta é:
E(X)
Vamos aplicar essa fórmula usando os valores e probabilidades que temos:
X
Calculando cada termo:
E(X) = sum (x times P(X=x))
E(X) = (1 times 0.2) + (2 times 0.3) + (3 times 0.5)
1 times 0.2 = 0.2
Agora somamos esses resultados:
2 times 0.3 = 0.6

Resposta

O valor esperado $ E(X) $ é igual a $ 2.3 $.

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