Classifique e resolva o sistema linear abaixo.
l 2 x-y+3 z-w=3 -2 x+y-2 w=-1 2 y-3 z-3 w=4 2 y-6 w=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de eliminação, como a regra de substituição ou a eliminação de Gauss, para chegar aos valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
2x - y + 3z - w = 3 (1) -2x + y - 2w = -1 (2) 2y - 3z - 3w = 4 (3) 2y - 6w = 6 (4)
Observamos que a quarta equação envolve apenas e , então podemos usá-la para encontrar uma relação entre essas duas variáveis.

Passo 3

Vamos simplificar a equação (4):
2y - 6w = 6
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
y - 3w = 3 (5)
Agora, temos uma relação direta entre e .

Passo 4

Vamos isolar y = 3w + 3 (6) na equação (5):
Agora, sabemos que pode ser expresso em função de . Vamos usar isso para substituir nas outras equações.

Passo 5

Substituímos -2x + (3w + 3) - 2w = -1 da equação (6) na equação (2):
-2x + 3w + 3 - 2w = -1
Simplificando:
-2x + w + 3 = -1
-2x + w = -4
Agora, vamos isolar -2x = -w - 4 :
x = w + 42 (7)
Agora, temos em função de .

Passo 6

Vamos substituir 2(3w + 3) - 3z - 3w = 4 da equação (6) na equação (3):
6w + 6 - 3z - 3w = 4
Simplificando:
3w + 6 - 3z = 4
3w - 3z = -2
w - z = -23 (8)
Podemos dividir toda a equação por 3:
Agora, temos uma relação entre e .

Passo 7

Vamos isolar z = w + 23 (9) na equação (8):
Agora, temos em função de .

Passo 8

Agora, vamos substituir 2x - (3w + 3) + 3z - w = 3 da equação (6) na equação (1):
2x - 3w - 3 + 3z - w = 3
Simplificando:
2x - 4w - 3 + 3z = 3
2(w + 42) - 4w - 3 + 3(w + 23) = 3
Agora, vamos substituir (w + 4) - 4w - 3 + 3w + 2 = 3 da equação (7) e w + 4 - 4w - 3 + 3w + 2 = 3 da equação (9):
(1w - 4w + 3w) + (4 - 3 + 2) = 3
Simplificando:
0w + 3 = 3
3 = 3
Isso significa que a equação é verdadeira para qualquer valor de .

Passo 9

Como a última equação não nos dá uma restrição para y = 3w + 3 x = w + 42 z = w + 23 w = w , isso indica que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para . Vamos expressar todas as variáveis em função de :

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, e todas as variáveis podem ser expressas em função de x = w + 42 y = 3w + 3 z = w + 23 w é um parâmetro real . As soluções são:
éâ

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a. Dos resultados do item 4.b, algum muda? Se sim, qual(quais) e por que?
Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade volumétrica dada por:
rho(r)=l rho0(1-rR) forall r <= R 0 forall r >= R
onde R=20 cm. Utilizando os valores 14 pi varepsilon0=9.10^9 Nm^2 / C^2 para a constante eletrostática e e=1,6 cdot 10^-19 C para a carga elétrica elementar:
b. Determine a direção, o sentido e a intensidade do campo elétrico nas regiões r in(0, R) e r in(R, infty).