A distribuição do custo de manutenção de uma máquina pode ser considerada uma normal com média
e desvio padrão de 20 unidades. O dono da empresa deseja verificar se a média do custo de manutenção é menor que 200. Para verificar tal hipótese usou-se uma amostra de 25 máquinas. Deseja-se saber:
a) Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
b) Fixando o nível de significância em
, realize o teste de hipóteses sabendo que
.
c) Se por acaso fosse observado média amostral de 190, qual seria sua decisão?
a) Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
b) Fixando o nível de significância em
c) Se por acaso fosse observado média amostral de 190, qual seria sua decisão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testar se o custo médio de manutenção de uma máquina é menor que 200 unidades. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Testes de Hipóteses para a média de uma distribuição normal com desvio padrão conhecido. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como formular hipóteses, calcular o valor do teste z e comparar com o valor crítico para tomar uma decisão.
Passo 2
Parte a: Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses nula (H₀) e alternativa (H₁). A hipótese nula geralmente representa o status quo ou a afirmação de que não há efeito, enquanto a hipótese alternativa é o que queremos testar.
-
H₀ (Hipótese nula): A média do custo de manutenção é igual a 200.
-
H₁ (Hipótese alternativa): A média do custo de manutenção é menor que 200.
Passo 3
Parte b: Fixando o nível de significância em 5%, realize o teste de hipóteses sabendo que
.
Vamos realizar um teste z para a média, já que a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido.
-
Dados:
- Média populacional hipotética (
) = 200 - Média amostral (
) = 195 - Desvio padrão (
) = 20 - Tamanho da amostra (n) = 25
- Nível de significância (
) = 5% = 0,05
- Média populacional hipotética (
-
Cálculo do erro padrão (EP):O erro padrão é dado por:
-
Cálculo do valor z:
-
Determinação do valor crítico:Como o teste é unilateral (menor que), buscamos o valor crítico z correspondente a
. Consultando a tabela z, o valor crítico paraé aproximadamente -1,645. -
Decisão:Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:Como o z calculado não está na região de rejeição, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 4
Parte c: Se por acaso fosse observado média amostral de 190, qual seria sua decisão?
Vamos repetir os passos do teste com
.
-
Dados atualizados:
-
= 190
-
-
Cálculo do z:
-
Comparação com o valor crítico:Aqui, o z calculado está na região de rejeição.
-
Decisão:Rejeitamos a hipótese nula. Há evidências suficientes para afirmar que a média do custo de manutenção é menor que 200 unidades.
Resposta
a) As hipóteses são:
b) Com
e nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula.
c) Com
, rejeitamos a hipótese nula.