A distribuição do custo de manutenção de uma máquina pode ser considerada uma normal com média mu e desvio padrão de 20 unidades. O dono da empresa deseja verificar se a média do custo de manutenção é menor que 200. Para verificar tal hipótese usou-se uma amostra de 25 máquinas. Deseja-se saber:
a) Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
b) Fixando o nível de significância em 5 %, realize o teste de hipóteses sabendo que barx=195.
c) Se por acaso fosse observado média amostral de 190, qual seria sua decisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testar se o custo médio de manutenção de uma máquina é menor que 200 unidades. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Testes de Hipóteses para a média de uma distribuição normal com desvio padrão conhecido. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como formular hipóteses, calcular o valor do teste z e comparar com o valor crítico para tomar uma decisão.

Passo 2

Parte a: Estabeleça as hipóteses a serem testadas.
Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses nula (H₀) e alternativa (H₁). A hipótese nula geralmente representa o status quo ou a afirmação de que não há efeito, enquanto a hipótese alternativa é o que queremos testar.
  • H₀ (Hipótese nula): A média do custo de manutenção é igual a 200.
    H0: mu = 200
  • H₁ (Hipótese alternativa): A média do custo de manutenção é menor que 200.
    H1: mu < 200

Passo 3

Parte b: Fixando o nível de significância em 5%, realize o teste de hipóteses sabendo que barx = 195.
Vamos realizar um teste z para a média, já que a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido.
  1. Dados:
    • Média populacional hipotética ( mu0) = 200
    • Média amostral ( barx) = 195
    • Desvio padrão ( sigma) = 20
    • Tamanho da amostra (n) = 25
    • Nível de significância ( alpha) = 5% = 0,05
  2. Cálculo do erro padrão (EP):
    O erro padrão é dado por:
    EP = sigmaraizn = 20raiz25 = 205 = 4
  3. Cálculo do valor z:
    z = barx - mu0EP = 195 - 2004 = -54 = -1,25
  4. Determinação do valor crítico:
    Como o teste é unilateral (menor que), buscamos o valor crítico z correspondente a alpha = 0,05.
    Consultando a tabela z, o valor crítico para alpha = 0,05 é aproximadamente -1,645.
  5. Decisão:
    Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
    -1,25 > -1,645
    Como o z calculado não está na região de rejeição, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 4

Parte c: Se por acaso fosse observado média amostral de 190, qual seria sua decisão?
Vamos repetir os passos do teste com barx = 190.
  1. Dados atualizados:
    • barx = 190
  2. Cálculo do z:
    z = 190 - 2004 = -104 = -2,5
  3. Comparação com o valor crítico:
    -2,5 < -1,645
    Aqui, o z calculado está na região de rejeição.
  4. Decisão:
    Rejeitamos a hipótese nula. Há evidências suficientes para afirmar que a média do custo de manutenção é menor que 200 unidades.

Resposta

a) As hipóteses são:
H0: mu = 200
H1: mu < 200
b) Com barx = 195 e nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula.
c) Com barx = 190, rejeitamos a hipótese nula.

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