Uma caracterização comum aos indivíduos obesos é de que o índice de massa corporal (IMC) seja de pelo menos 30. Em uma amostra, 262 indivíduos tinham IMC inferior a 25,159 tinham IMC entre 25 e 30 , e 120 tinham IMC acima de 30. Há evidências que levam à conclusão de que a proporção populacional de indivíduos obesos é maior que
?
a) Estabeleça as hipóteses e realize um teste ao nível de significância de
.
b) Calcule o p-valor do teste.
c) Explique, no contexto desse exemplo, o que constitui os erros tipo I e II.
a) Estabeleça as hipóteses e realize um teste ao nível de significância de
b) Calcule o p-valor do teste.
c) Explique, no contexto desse exemplo, o que constitui os erros tipo I e II.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o Índice de Massa Corporal (IMC) e quer saber se a proporção de pessoas obesas na população é maior que 20%. A gente vai usar estatística inferencial, especificamente testes de hipótese para proporções. Vamos precisar calcular a proporção observada na amostra e comparar com a proporção hipotética de 20%.
Passo 2
a) Estabelecendo as hipóteses e realizando o teste com nível de significância de 5%
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
- Hipótese nula (
): A proporção de indivíduos obesos na população é igual a 20%, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A proporção de indivíduos obesos na população é maior que 20%, ou seja, .
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Sabemos que 120 indivíduos têm IMC acima de 30. O tamanho total da amostra é:
Então, a proporção observada (
) é:
Agora, vamos realizar o teste z para proporções:
Onde:
Calculando o erro padrão:
Agora, calculando o valor de z:
Com nível de significância de 5%, o valor crítico para um teste unilateral é aproximadamente 1,645. Como 1,28 < 1,645, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 3
b) Calculando o p-valor do teste
O p-valor é a probabilidade de observarmos um valor tão extremo quanto o nosso, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira. Usando o valor de z calculado anteriormente (1,28), vamos encontrar o p-valor.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, a probabilidade associada a
é aproximadamente 0,8997. Como estamos fazendo um teste unilateral (direcionado para a direita), o p-valor é:
Então, o p-valor é aproximadamente 10,03%.
Passo 4
c) Explicando os erros Tipo I e II no contexto do exemplo
-
Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No nosso caso, seria concluir que mais de 20% da população é obesa quando, na verdade, exatamente 20% é. Isso poderia levar a políticas desnecessárias ou alarmes falsos sobre a obesidade na população.
-
Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a alternativa é verdadeira. Ou seja, pensar que a proporção de obesos é 20% ou menos quando, na verdade, é maior. Isso impediria a implementação de medidas necessárias para combater a obesidade.
Resposta
Com base no teste realizado, com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para concluir que a proporção de indivíduos obesos na população é maior que 20%. O p-valor obtido foi de aproximadamente 10,03%, que é maior que 5%, então mantemos a hipótese nula.