Uma caracterização comum aos indivíduos obesos é de que o índice de massa corporal (IMC) seja de pelo menos 30. Em uma amostra, 262 indivíduos tinham IMC inferior a 25,159 tinham IMC entre 25 e 30 , e 120 tinham IMC acima de 30. Há evidências que levam à conclusão de que a proporção populacional de indivíduos obesos é maior que 20 % ?
a) Estabeleça as hipóteses e realize um teste ao nível de significância de 5 %.
b) Calcule o p-valor do teste.
c) Explique, no contexto desse exemplo, o que constitui os erros tipo I e II.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o Índice de Massa Corporal (IMC) e quer saber se a proporção de pessoas obesas na população é maior que 20%. A gente vai usar estatística inferencial, especificamente testes de hipótese para proporções. Vamos precisar calcular a proporção observada na amostra e comparar com a proporção hipotética de 20%.

Passo 2

a) Estabelecendo as hipóteses e realizando o teste com nível de significância de 5%
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): A proporção de indivíduos obesos na população é igual a 20%, ou seja, p = 0,20.
  • Hipótese alternativa ( Ha): A proporção de indivíduos obesos na população é maior que 20%, ou seja, p > 0,20.
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Sabemos que 120 indivíduos têm IMC acima de 30. O tamanho total da amostra é:
262 + 159 + 120 = 541
Então, a proporção observada ( p) é:
p = 120541 approx 0,222
Agora, vamos realizar o teste z para proporções:
z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Onde:
  • p0 = 0,20
  • n = 541
Calculando o erro padrão:
raiz0,20 times 0,80541 approx raiz0,16541 approx raiz0,0002958 approx 0,0172
Agora, calculando o valor de z:
z = 0,222 - 0,200,0172 approx 0,0220,0172 approx 1,28
Com nível de significância de 5%, o valor crítico para um teste unilateral é aproximadamente 1,645. Como 1,28 < 1,645, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 3

b) Calculando o p-valor do teste
O p-valor é a probabilidade de observarmos um valor tão extremo quanto o nosso, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira. Usando o valor de z calculado anteriormente (1,28), vamos encontrar o p-valor.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, a probabilidade associada a z = 1,28 é aproximadamente 0,8997. Como estamos fazendo um teste unilateral (direcionado para a direita), o p-valor é:
p = 1 - 0,8997 = 0,1003
Então, o p-valor é aproximadamente 10,03%.

Passo 4

c) Explicando os erros Tipo I e II no contexto do exemplo
  • Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No nosso caso, seria concluir que mais de 20% da população é obesa quando, na verdade, exatamente 20% é. Isso poderia levar a políticas desnecessárias ou alarmes falsos sobre a obesidade na população.
  • Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a alternativa é verdadeira. Ou seja, pensar que a proporção de obesos é 20% ou menos quando, na verdade, é maior. Isso impediria a implementação de medidas necessárias para combater a obesidade.

Resposta

Com base no teste realizado, com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para concluir que a proporção de indivíduos obesos na população é maior que 20%. O p-valor obtido foi de aproximadamente 10,03%, que é maior que 5%, então mantemos a hipótese nula.

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