A distribuição da densidade de fluxo na superfície de um estator de dois polos de raio
e comprimento
é dada por:
Demonstre que o fluxo total debaixo de cada face polar é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição da densidade de fluxo magnético na superfície de um estator de dois polos, que tem um certo raio $ r $ e comprimento $ l $. A gente vai trabalhar com conceitos de fluxo magnético, que é uma parte da eletromagnetismo. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como calcular o fluxo total passando por uma área, usando a densidade de fluxo dada pela fórmula:
Nosso objetivo é demonstrar que o fluxo total em cada face polar é:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo magnético. O fluxo magnético ($ \phi $) mede quantas linhas de campo magnético passam por uma determinada área. A fórmula geral para o fluxo é:
No nosso caso, $ \mathbf{B} $ é a densidade de fluxo magnético e $ d\mathbf{A} $ é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Como estamos lidando com uma superfície plana e a direção do campo magnético é uniforme (dependendo do tempo e do ângulo $ \alpha $), podemos simplificar a integral. Se $ B $ é constante sobre a área $ A $, então:
Mas no nosso caso, a densidade de fluxo varia com o tempo e o ângulo, então precisamos considerar a média ou o valor máximo para simplificar. Vamos considerar o valor máximo $ B_M $ para encontrar o fluxo total máximo.
Passo 4
Agora, vamos determinar a área $ A $ de cada face polar do estator. Como o estator tem um raio $ r $ e comprimento $ l $, a área da superfície cilíndrica de cada polo é dada por:
Isso vem da fórmula da área lateral de um cilindro, que é $ 2\pi r l $, mas considerando que estamos trabalhando com uma simplificação onde $ \pi $ não aparece, possivelmente devido à modelagem do problema.
Passo 5
Com a área $ A $ e o valor máximo da densidade de fluxo $ B_M $, podemos calcular o fluxo total $ \phi $ em cada face polar:
Resposta
Portanto, o fluxo total debaixo de cada face polar é: