Um volante com um momento de inércia de 4 kg cdot m^2 está inicialmente em repouso. Se um conjugado de 6 N m (anti-horário) for aplicado repentinamente ao volante, qual será a velocidade do volante após 5 s? Expresse essa velocidade em radianos por segundo e em rotações por minuto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um volante com momento de inércia de 4 , kg cdot m^2 que está parado. A gente vai aplicar um torque de 6 , N cdot m no sentido anti-horário e quer saber qual será a velocidade angular desse volante depois de 5 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especialmente a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação básica entre torque ( tau), momento de inércia ( I) e aceleração angular ( alpha). A fórmula que conecta esses valores é:
tau = I cdot alpha
Isso significa que o torque aplicado causa uma aceleração angular proporcional.

Passo 3

Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar a aceleração angular ( alpha):
alpha = tauI
Substituindo os valores dados:
alpha = 6 , N cdot m4 , kg cdot m^2 = 1.5 , rad/s^2
Então, a aceleração angular é de 1.5 , rad/s^2.

Passo 4

Agora, sabemos que o volante começa do repouso, ou seja, com velocidade angular inicial ( omega0) de 0 rad/s. Para encontrar a velocidade angular final ( omega) após um tempo ( t) de 5 segundos, usamos a fórmula da velocidade angular com aceleração constante:
omega = omega0 + alpha cdot t
Substituindo os valores:
omega = 0 + 1.5 , rad/s^2 times 5 , s = 7.5 , rad/s
Então, a velocidade angular após 5 segundos é de 7.5 , rad/s.

Passo 5

Agora, vamos converter essa velocidade angular de radianos por segundo para rotações por minuto (RPM). Sabemos que:
1 , rotação = 2pi , radianos çã
E:
1 , minuto = 60 , segundos
Primeiro, convertemos rad/s para rad/min:
7.5 , rad/s times 60 , s/min = 450 , rad/min
Agora, convertemos rad/min para rotações por minuto:
RPM = 450 , rad/min2pi , rad/rotação approx 4506.2832 approx 71.6 , RPM çã

Resposta

Após 5 segundos, a velocidade do volante é de 7.5 , rad/s ou aproximadamente 71.6 , RPM.

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