A distribuição dos pesos de sacos de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma certa máquina, é Normal. Uma amostra de 15 pacotes retirada ao acaso apresentou os seguintes pesos, em kg :
20,05 20,10 20,25 19,78 19,69
19,90 20,20 19,89 19,70 20,30
19,93 20,25 20,18 20,01 20,09
Obtenha os intervalos de confiança de 95 % e 99 % para o peso médio dos sacos de sementes de milho.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina que enche sacos de sementes de milho, e os pesos desses sacos seguem uma distribuição Normal. Tiramos uma amostra de 15 sacos e registramos os pesos. Agora, queremos descobrir qual é o peso médio real desses sacos com 95% e 99% de confiança. Para isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança para a média usando a distribuição t de Student, já que o desvio padrão da população não é conhecido e o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral. A média é a soma de todos os pesos dividida pelo número de sacos.
barx = sum xin
Vamos somar todos os pesos:
20,05 + 20,10 + 20,25 + 19,78 + 19,69 + 19,90 + 20,20 + 19,89 + 19,70 + 20,30 + 19,93 + 20,25 + 20,18 + 20,01 + 20,09 = 300,12 kg
Então, a média amostral é:
barx = 300,1215 = 20,008 kg

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral ( s). O desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(20,05 - 20,008)^2 = 0,0018
(20,10 - 20,008)^2 = 0,0082
ldots
(20,09 - 20,008)^2 = 0,0069
Somando todas essas diferenças ao quadrado e dividindo por n - 1 = 14:
s = raiz0,0018 + 0,0082 + ldots + 0,006914 approx 0,19 kg

Passo 4

Com a média ( barx) e o desvio padrão ( s) calculados, vamos determinar o Erro Padrão da Média ( EP):
EP = sraizn = 0,19raiz15 approx 0,049 kg

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para os níveis de confiança de 95% e 99%, com n - 1 = 14 graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student:
  • Para 95% de confiança: t0,025 approx 2,145
  • Para 99% de confiança: t0,005 approx 2,977

Passo 6

Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula:
IC = barx pm t times EP
Para 95% de confiança:
20,008 pm 2,145 times 0,049 Rightarrow (20,008 - 0,105, 20,008 + 0,105) Rightarrow (19,903 kg, 20,113 kg)
Para 99% de confiança:
20,008 pm 2,977 times 0,049 Rightarrow (20,008 - 0,146, 20,008 + 0,146) Rightarrow (19,862 kg, 20,154 kg)

Resposta

O intervalo de confiança para o peso médio dos sacos de sementes de milho é:
  • 95% de confiança: entre 19,90 kg e 20,11 kg.
  • 99% de confiança: entre 19,86 kg e 20,15 kg.

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