A distribuição dos pesos de sacos de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma certa máquina, é Normal. Uma amostra de 15 pacotes retirada ao acaso apresentou os seguintes pesos, em kg :
20,05 | 20,10 | 20,25 | 19,78 | 19,69 |
---|---|---|---|---|
19,90 | 20,20 | 19,89 | 19,70 | 20,30 |
19,93 | 20,25 | 20,18 | 20,01 | 20,09 |
Obtenha os intervalos de confiança de
e
para o peso médio dos sacos de sementes de milho.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina que enche sacos de sementes de milho, e os pesos desses sacos seguem uma distribuição Normal. Tiramos uma amostra de 15 sacos e registramos os pesos. Agora, queremos descobrir qual é o peso médio real desses sacos com 95% e 99% de confiança. Para isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança para a média usando a distribuição t de Student, já que o desvio padrão da população não é conhecido e o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral. A média é a soma de todos os pesos dividida pelo número de sacos.
Vamos somar todos os pesos:
Então, a média amostral é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral (
). O desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula é:
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
Somando todas essas diferenças ao quadrado e dividindo por
:
Passo 4
Com a média (
) e o desvio padrão (
) calculados, vamos determinar o Erro Padrão da Média (
):
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para os níveis de confiança de 95% e 99%, com
graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student:
- Para 95% de confiança:
- Para 99% de confiança:
Passo 6
Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula:
Para 95% de confiança:
Para 99% de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança para o peso médio dos sacos de sementes de milho é:
- 95% de confiança: entre 19,90 kg e 20,11 kg.
- 99% de confiança: entre 19,86 kg e 20,15 kg.