Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória X que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
P(X=k)=e^-lambda cdot lambda^kk!, k=0,1,2, ldots
Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda e denotamos da seguinte maneira: X sim Poisson(lambda). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=Var(X)=lambda. Logo, lambda representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai usar a Distribuição de Poisson, que te ajuda a calcular a probabilidade de certos números de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo. No caso, a gente sabe que, em média, 6 clientes param no posto por hora. Precisamos descobrir a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem nesse mesmo intervalo de 1 hora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição de Poisson. A probabilidade de exatamente P(X=k) = e^-lambda cdot lambda^kk! eventos ocorrerem é dada por:
Aqui, é o número médio de eventos (no nosso caso, 6 clientes por hora) e é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (3 ou mais clientes).

Passo 3

Nossa meta é encontrar P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] , que é a probabilidade de 3 ou mais clientes aparecerem. Para facilitar, podemos calcular o complementar dessa probabilidade, ou seja:
Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis é 1.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individuais usando a fórmula de Poisson.
Para P(X=0) = e^-6 cdot 6^00! = e^-6 cdot 1 / 1 = e^-6 approx 0,002478752 :
P(X=1) = e^-6 cdot 6^11! = e^-6 cdot 6 / 1 = 6e^-6 approx 0,014872512
Para P(X=2) = e^-6 cdot 6^22! = e^-6 cdot 36 / 2 = 18e^-6 approx 0,044617536 :
Para :

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) approx 0,002478752 + 0,014872512 + 0,044617536 approx 0,0619688

Passo 6

Finalmente, encontramos a probabilidade que a gente quer:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) approx 1 - 0,0619688 = 0,9380312

Resposta

A probabilidade de que 3 clientes ou mais parem no posto em qualquer intervalo de 1 hora é aproximadamente 93,8%.

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