Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição de Poisson com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que . Logo, representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai usar a Distribuição de Poisson, que te ajuda a calcular a probabilidade de certos números de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo. No caso, a gente sabe que, em média, 6 clientes param no posto por hora. Precisamos descobrir a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem nesse mesmo intervalo de 1 hora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição de Poisson. A probabilidade de exatamente eventos ocorrerem é dada por:
Aqui, é o número médio de eventos (no nosso caso, 6 clientes por hora) e é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (3 ou mais clientes).

Passo 3

Nossa meta é encontrar , que é a probabilidade de 3 ou mais clientes aparecerem. Para facilitar, podemos calcular o complementar dessa probabilidade, ou seja:
Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis é 1.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individuais usando a fórmula de Poisson.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:

Passo 6

Finalmente, encontramos a probabilidade que a gente quer:

Resposta

A probabilidade de que 3 clientes ou mais parem no posto em qualquer intervalo de 1 hora é aproximadamente 93,8%.

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