Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória
que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a.
é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
. Logo,
representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai usar a Distribuição de Poisson, que te ajuda a calcular a probabilidade de certos números de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo. No caso, a gente sabe que, em média, 6 clientes param no posto por hora. Precisamos descobrir a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem nesse mesmo intervalo de 1 hora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição de Poisson. A probabilidade de exatamente
eventos ocorrerem é dada por:
Aqui,
é o número médio de eventos (no nosso caso, 6 clientes por hora) e
é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (3 ou mais clientes).
Passo 3
Nossa meta é encontrar
, que é a probabilidade de 3 ou mais clientes aparecerem. Para facilitar, podemos calcular o complementar dessa probabilidade, ou seja:
Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis é 1.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individuais usando a fórmula de Poisson.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 6
Finalmente, encontramos a probabilidade que a gente quer:
Resposta
A probabilidade de que 3 clientes ou mais parem no posto em qualquer intervalo de 1 hora é aproximadamente 93,8%.
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