O número de acidentes pequenos durante uma partida de futebol é uma variável aleatória de Poisson com média lambda=4,5. Qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde o número de pequenos acidentes durante uma partida de futebol segue uma distribuição de Poisson com média lambda = 4,5. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida. Basicamente, vamos trabalhar com probabilidades em distribuições de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. A fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, e é a base dos logaritmos naturais, lambda é a média de eventos, e k! é o fatorial de k.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes, precisamos calcular P(X = 0), P(X = 1) e P(X = 2) e somar esses valores.
Vamos calcular cada um:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = e^-4,5 cdot 4,5^00! = e^-4,5 cdot 1 / 1 = e^-4,5
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = e^-4,5 cdot 4,5^11! = e^-4,5 cdot 4,5 / 1 = 4,5 cdot e^-4,5
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = e^-4,5 cdot 4,5^22! = e^-4,5 cdot 20,25 / 2 = 10,125 cdot e^-4,5

Passo 4

Agora, somamos as três probabilidades para encontrar P(X <= 2):
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e^-4,5 + 4,5 cdot e^-4,5 + 10,125 cdot e^-4,5
Podemos fatorar e^-4,5:
P(X <= 2) = e^-4,5 (1 + 4,5 + 10,125) = e^-4,5 cdot 15,625

Passo 5

Agora, precisamos calcular o valor numérico. Sabendo que e^-4,5 approx 0,0111, temos:
P(X <= 2) approx 0,0111 cdot 15,625 approx 0,173

Resposta

A probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida é aproximadamente 17,3%.

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