A distribuição dos rendimentos familiares, num aglomerado populacional de 10.000 famílias, é satisfatoriamente representada por uma lei normal. Sabe-se que o rendimento médio nesse aglomerado populacional é de 95 u.m. (unidades monetárias) e que a percentagem de famílias com rendimento inferior a 80 u.m. é 15.87 %. Qual o número provável de famílias com rendimento entre 80 e 110 u.m.?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição dos rendimentos familiares de 10.000 famílias, que segue uma lei normal. A média dos rendimentos é de 95 unidades monetárias (u.m.), e sabemos que 15,87% das famílias ganham menos de 80 u.m. Nosso objetivo é descobrir quantas famílias provavelmente ganham entre 80 e 110 u.m. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o desvio padrão da distribuição. Sabemos que 15,87% das famílias têm rendimento abaixo de 80 u.m. Na distribuição normal, 15,87% corresponde a um valor Z de -1.
A fórmula para calcular o valor Z é:
Z = X - musigma
Onde:
  • -1 = 80 - 95sigma é o valor do rendimento (80 u.m.),
  • é a média (95 u.m.),
  • é o desvio padrão que queremos encontrar.
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos resolver para o desvio padrão -1 = -15sigma -1 times sigma = -15 sigma = 15 :
Então, o desvio padrão é 15 u.m.

Passo 4

Com a média ( Z = 80 - 9515 = -1 ) e o desvio padrão ( Z = 110 - 9515 = 1 ) encontrados, vamos calcular a probabilidade das famílias terem rendimentos entre 80 e 110 u.m.
Primeiro, encontramos os valores Z para 80 e 110 u.m.:
Para 80 u.m.:
Para 110 u.m.:

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de estar entre -1 e 1 na distribuição normal padrão. Sabemos que aproximadamente 68,27% das observações em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média (entre Z = -1 e Z = 1).

Passo 6

Finalmente, para encontrar o número de famílias com rendimentos entre 80 e 110 u.m., calculamos 68,27% de 10.000 famílias:
Número de famílias = 0,6827 times 10.000 = 6.827 úí

Resposta

O número provável de famílias com rendimento entre 80 e 110 u.m. é de aproximadamente 6.827 famílias.

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