A distribuição dos rendimentos familiares, num aglomerado populacional de 10.000 famílias, é satisfatoriamente representada por uma lei normal. Sabe-se que o rendimento médio nesse aglomerado populacional é de 95 u.m. (unidades monetárias) e que a percentagem de famílias com rendimento inferior a 80 u.m. é
. Qual o número provável de famílias com rendimento entre 80 e 110 u.m.?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição dos rendimentos familiares de 10.000 famílias, que segue uma lei normal. A média dos rendimentos é de 95 unidades monetárias (u.m.), e sabemos que 15,87% das famílias ganham menos de 80 u.m. Nosso objetivo é descobrir quantas famílias provavelmente ganham entre 80 e 110 u.m. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o desvio padrão da distribuição. Sabemos que 15,87% das famílias têm rendimento abaixo de 80 u.m. Na distribuição normal, 15,87% corresponde a um valor Z de -1.
A fórmula para calcular o valor Z é:
Onde:
-
é o valor do rendimento (80 u.m.), -
é a média (95 u.m.), -
é o desvio padrão que queremos encontrar.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos resolver para o desvio padrão
:
Então, o desvio padrão é 15 u.m.
Passo 4
Com a média (
) e o desvio padrão (
) encontrados, vamos calcular a probabilidade das famílias terem rendimentos entre 80 e 110 u.m.
Primeiro, encontramos os valores Z para 80 e 110 u.m.:
Para 80 u.m.:
Para 110 u.m.:
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de
estar entre -1 e 1 na distribuição normal padrão. Sabemos que aproximadamente 68,27% das observações em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média (entre Z = -1 e Z = 1).
Passo 6
Finalmente, para encontrar o número de famílias com rendimentos entre 80 e 110 u.m., calculamos 68,27% de 10.000 famílias:
Resposta
O número provável de famílias com rendimento entre 80 e 110 u.m. é de aproximadamente 6.827 famílias.