Um homem tem 4 chaves em seu chaveiro. Na escuridão ele pretende abrir a porta de sua casa, se é definido a variável aleatória, número de vezes em que testa a chave de seu chaveiro para abrir a porta. Qual é a função de probabilidade dessa variável aleatória?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cara que tem 4 chaves no chaveiro e quer abrir a porta na escuridão. A gente precisa descobrir a função de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de vezes que ele tenta uma chave para abrir a porta. Isso envolve conceitos de probabilidade, especialmente sobre eventos e suas chances de acontecerem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a variável . Ela pode assumir valores de 1 a 4, já que ele tem 4 chaves. Ou seja, pode ser 1, 2, 3 ou 4, dependendo de quantas tentativas ele faz até encontrar a chave certa.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de P(X = 1) = 14 , ou seja, ele acertar na primeira tentativa. Como há 1 chave certa e 4 chaves no total, a chance é:

Passo 4

Agora, a probabilidade de P(X = 2) = 34 times 13 = 14 . Isso significa que a primeira chave foi errada e a segunda está certa. A chance de errar na primeira tentativa é e, depois, acertar na segunda é . Então:

Passo 5

Para P(X = 3) = 34 times 23 times 12 = 14 , ele erra nas duas primeiras e acerta na terceira. A probabilidade é:

Passo 6

Finalmente, para P(X = 4) = 34 times 23 times 12 times 1 = 14 , ele erra nas três primeiras tentativas e consegue na quarta. A chance é:

Resposta

A função de probabilidade da variável aleatória P(X = k) = 14 para k = 1, 2, 3, 4 é:

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