Uma caixa tem 8 lâmpadas, dos quais 3 encontram-se com defeito. É selecionada da caixa uma lâmpada e se testa. Se é extraído um defeituoso, se testa outra lâmpada, até que se selecione uma lâmpada não defeituosa. Encontre o número esperado de lâmpadas selecionadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com 8 lâmpadas, das quais 3 estão com defeito e 5 estão funcionando. A gente vai tirar uma lâmpada de cada vez e testar. Se a lâmpada tirada estiver com defeito, a gente tira outra, e assim vai, até encontrar uma que funcione. A pergunta é: qual é o número esperado de lâmpadas que a gente vai precisar testar para encontrar uma que funcione.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor esperado na teoria das probabilidades, que basicamente nos diz o “média” que esperamos obter quando repetimos um experimento várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades envolvidas. Sabemos que:
  • Número total de lâmpadas: 8
  • Lâmpadas com defeito: 3
  • Lâmpadas funcionando: 5
Queremos calcular a probabilidade de encontrar a primeira lâmpada que funciona na k-ésima tentativa, onde k pode ser 1, 2, 3 ou 4.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade para cada caso:
  1. Encontrar na 1ª tentativa: A primeira lâmpada funciona.
    • Probabilidade:
  2. Encontrar na 2ª tentativa: A primeira está defeituosa e a segunda funciona.
    • Probabilidade:
  3. Encontrar na 3ª tentativa: As duas primeiras estão defeituosas e a terceira funciona.
    • Probabilidade:
  4. Encontrar na 4ª tentativa: As três primeiras estão defeituosas e a quarta funciona.
    • Probabilidade:
    • Aqui, a quarta lâmpada necessariamente funciona porque já retiramos todas as defeituosas.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. 1ª tentativa:
    P(X=1) = 58 approx 0,625
  2. 2ª tentativa:
    P(X=2) = 38 times 57 approx 0,2679
  3. 3ª tentativa:
    P(X=3) = 38 times 27 times 56 approx 0,0893
  4. 4ª tentativa:
    P(X=4) = 38 times 27 times 16 times 1 approx 0,0089

Passo 5

Com essas probabilidades, podemos calcular o valor esperado E[X] = 1 times P(X=1) + 2 times P(X=2) + 3 times P(X=3) + 4 times P(X=4) multiplicando cada resultado possível pela sua probabilidade e somando tudo:
E[X] = 1 times 0,625 + 2 times 0,2679 + 3 times 0,0893 + 4 times 0,0089
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos fazer as contas:
E[X] = 0,625 + 0,5358 + 0,2679 + 0,0356 = 1,4643

Resposta

O número esperado de lâmpadas que serão selecionadas é aproximadamente 1,46.

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