Uma distribuição unidirecional estacionária da temperatura numa parede de condutividade térmica
e espessura 70 mm é dada por:
, sendo T em
e x em metros. Se uma fonte de
estiver na parede, quais as taxas de geração de calor e de energia armazenada na parede? Determinar os fluxos de entrada e de saída da parede.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma parede com condutividade térmica de
e espessura de 70 mm (ou 0,07 metros). A distribuição de temperatura na parede é dada por:
onde
está em graus Celsius e
em metros. Além disso, há uma fonte de calor dentro da parede com uma taxa de geração de
.
Nosso objetivo é encontrar:
- As taxas de geração de calor e de energia armazenada na parede.
- Determinar os fluxos de entrada e de saída da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor, especificamente a Lei de Fourier, e entender como a geração interna de calor e o armazenamento de energia afetam o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a taxa de geração de calor na parede. A taxa de geração de calor (
) é dada pela fonte interna de calor multiplicada pelo volume onde ela atua.
A fonte de calor é
, mas precisamos considerar o volume da parede. No entanto, como queremos a taxa por unidade de volume,
é simplesmente
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de energia armazenada na parede (
). Para isso, precisamos considerar se há variação de temperatura ao longo do tempo. Como o enunciado fala que a distribuição de temperatura é estacionária, isso significa que a temperatura não está mudando com o tempo. Portanto, a taxa de energia armazenada é zero.
Passo 4
Vamos determinar os fluxos de entrada e saída de calor na parede. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
onde:
-
é o fluxo de calor (W/m²), -
é a condutividade térmica, -
é o gradiente de temperatura.
Primeiro, calculamos a derivada da temperatura em relação a
:
Então, o fluxo de calor é:
Passo 5
Agora, vamos calcular os fluxos de entrada e de saída. Considerando
(início da parede) e
(final da parede):
Para
:
Para
:
Passo 6
Finalmente, resumindo os resultados:
- Taxa de geração de calor:
- Taxa de energia armazenada:
(pois a distribuição é estacionária) - Fluxo de entrada:
- Fluxo de saída:
Resposta
As taxas são:
- Geração de calor:
- Energia armazenada:
E os fluxos de calor são: - Entrada:
- Saída: