Uma distribuição unidirecional estacionária da temperatura numa parede de condutividade térmica 40 W /(m K) e espessura 70 mm é dada por: T(x)=200-50 x-2000 x^2, sendo T em ^circ C e x em metros. Se uma fonte de 10 kW / m^3 estiver na parede, quais as taxas de geração de calor e de energia armazenada na parede? Determinar os fluxos de entrada e de saída da parede.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma parede com condutividade térmica de T(x) = 200 - 50x - 2000x^2 e espessura de 70 mm (ou 0,07 metros). A distribuição de temperatura na parede é dada por:
onde está em graus Celsius e em metros. Além disso, há uma fonte de calor dentro da parede com uma taxa de geração de .
Nosso objetivo é encontrar:
  1. As taxas de geração de calor e de energia armazenada na parede.
  2. Determinar os fluxos de entrada e de saída da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor, especificamente a Lei de Fourier, e entender como a geração interna de calor e o armazenamento de energia afetam o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa de geração de calor na parede. A taxa de geração de calor ( q>=n = 10 , kW/m^3 ) é dada pela fonte interna de calor multiplicada pelo volume onde ela atua.
A fonte de calor é , mas precisamos considerar o volume da parede. No entanto, como queremos a taxa por unidade de volume, é simplesmente .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de energia armazenada na parede ( dUdt = 0 ). Para isso, precisamos considerar se há variação de temperatura ao longo do tempo. Como o enunciado fala que a distribuição de temperatura é estacionária, isso significa que a temperatura não está mudando com o tempo. Portanto, a taxa de energia armazenada é zero.

Passo 4

Vamos determinar os fluxos de entrada e saída de calor na parede. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
q = -k dTdx
onde:
  • dTdx = ddx(200 - 50x - 2000x^2) = -50 - 4000x é o fluxo de calor (W/m²),
  • q(x) = -40 ( -50 - 4000x ) = 2000 + 160000x é a condutividade térmica,
  • é o gradiente de temperatura.
Primeiro, calculamos a derivada da temperatura em relação a :
Então, o fluxo de calor é:

Passo 5

Agora, vamos calcular os fluxos de entrada e de saída. Considerando qentrada = 2000 + 160000(0) = 2000 , W/m^2 (início da parede) e qsaída = 2000 + 160000(0.07) = 2000 + 11200 = 13200 , W/m^2 (final da parede):
Para :
Para :
í

Passo 6

Finalmente, resumindo os resultados:
  • Taxa de geração de calor:
  • Taxa de energia armazenada: (pois a distribuição é estacionária)
  • Fluxo de entrada:
  • Fluxo de saída:

Resposta

As taxas são:
  • Geração de calor:
  • Energia armazenada:
    E os fluxos de calor são:
  • Entrada:
  • Saída:

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