A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
Em que é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 150 C , com e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado fala sobre a distribuição de velocidade em um escoamento laminar entre duas placas paralelas. A gente vai precisar entender sobre escoamento laminar, perfil de velocidade e como calcular a tensão de cisalhamento. As equações que vamos usar envolvem derivadas para encontrar a taxa de variação da velocidade em relação à posição.
Passo 2
Vamos começar entendendo a fórmula do perfil de velocidade dada:
Aqui, é a velocidade do fluido em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no meio do canal, é a distância entre as placas, e é a posição vertical, com a origem no meio do canal.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento (), usamos a relação:
Onde é a viscosidade dinâmica da água, e é a derivada da velocidade em relação a .
Passo 4
Primeiro, vamos derivar a expressão de em relação a . A velocidade é:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. Na placa superior, a posição (já que a origem está no meio). Então substituindo:
Passo 6
A tensão de cisalhamento na placa superior é então:
áá
O sinal negativo indica que a direção da força de cisalhamento está oposta ao sentido do movimento da placa.
Passo 7
Agora, precisamos do valor da viscosidade dinâmica da água a 150°C. Sabendo que a viscosidade da água diminui com o aumento da temperatura, para 150°C, é aproximadamente .
Substituindo os valores:
á
Passo 8
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento na placa superior está direcionada para baixo, ou seja, oposta ao movimento da placa.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de 0,56 Pa direcionada para baixo. Além disso, a tensão de cisalhamento varia quadraticamente em uma seção transversal do canal, sendo maior nas proximidades das placas e nula no meio do canal.