A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
uu máx =1-(2 yh)^2 á
Em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 150 C , com u máx =0,10 m / sá e h= 0,1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado fala sobre a distribuição de velocidade em um escoamento laminar entre duas placas paralelas. A gente vai precisar entender sobre escoamento laminar, perfil de velocidade e como calcular a tensão de cisalhamento. As equações que vamos usar envolvem derivadas para encontrar a taxa de variação da velocidade em relação à posição.

Passo 2

Vamos começar entendendo a fórmula do perfil de velocidade dada:
uumáx = 1 - (2yh)^2 á
Aqui, é a velocidade do fluido em uma posição entre as placas, á é a velocidade máxima no meio do canal, é a distância entre as placas, e é a posição vertical, com a origem no meio do canal.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ), usamos a relação:
Onde é a viscosidade dinâmica da água, e é a derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a expressão de u = umáx [1 - (2yh)^2] em relação a dudy = umáx cdot [ -2 cdot 2h^2 cdot y ] = -4umáxh^2 y . A velocidade é:
á
Derivando em relação a :
áá

Passo 5

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. Na placa superior, a posição dudy g|y=h2 = -4umáxh^2 cdot h2 = -2umáxh (já que a origem está no meio). Então substituindo:
áá

Passo 6

A tensão de cisalhamento na placa superior é então:
tau = mu cdot (-2umáxh) = -2mu umáxh áá
O sinal negativo indica que a direção da força de cisalhamento está oposta ao sentido do movimento da placa.

Passo 7

Agora, precisamos do valor da viscosidade dinâmica da água a 150°C. Sabendo que a viscosidade da água diminui com o aumento da temperatura, para 150°C, tau = -2 times 0,00028 times 0,100,0001 = -0,0000560,0001 = -0,56 , Pa é aproximadamente .
Substituindo os valores:
  • á

Passo 8

O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento na placa superior está direcionada para baixo, ou seja, oposta ao movimento da placa.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de 0,56 Pa direcionada para baixo. Além disso, a tensão de cisalhamento varia quadraticamente em uma seção transversal do canal, sendo maior nas proximidades das placas e nula no meio do canal.

Esboço da Variação da Tensão de Cisalhamento

τ
|
|        *
|       * *
|      *   *
|-----*-----*----- y
|      *   *
|       * *
|        *
|
A curva mostra que a tensão de cisalhamento ( ) é máxima nas placas e diminui até chegar a zero no centro do canal.

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