A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
onde é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas, e a velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas. O exercício nos dá a fórmula da distribuição de velocidade e algumas informações específicas: a velocidade máxima, a distância entre as placas e a temperatura da água. Precisamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior, entender para onde ela aponta e também desenhar como essa tensão varia através do canal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar e tensão de cisalhamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de velocidade dada:
Aqui, é a velocidade do fluido em um ponto entre as placas, é a velocidade máxima (no meio do canal), e é a distância entre as placas. A variável mede a posição vertical, com a origem no meio entre as placas.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento () na placa, precisamos calcular o gradiente de velocidade na parede. A tensão de cisalhamento é dada por:
onde é a viscosidade do fluido e é a derivada da velocidade em relação a .
Passo 4
Vamos calcular . Dada a função de velocidade:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, vamos calcular na placa superior. A placa superior está localizada em . Substituindo:
Passo 6
Com o gradiente de velocidade na parede, podemos agora calcular a tensão de cisalhamento:
O sinal negativo indica a direção da força, mas vamos focar no valor absoluto para a magnitude.
Passo 7
Vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
A viscosidade da água a é aproximadamente
Substituindo na fórmula:
Passo 8
A tensão de cisalhamento na placa superior tem magnitude de . Quanto à direção, a força de cisalhamento na placa superior atua para baixo, pois o fluido está se movendo para a direita (supondo essa direção) e a força de cisalhamento sempre atua contra o movimento do fluido na parede.
Passo 9
Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade . Como vimos:
Isso significa que a tensão de cisalhamento varia linearmente com , sendo máxima nas paredes e zero no centro. O gráfico será uma linha reta que começa em na parede superior, passa por zero no centro e atinge na parede inferior. Assim, a curva é uma linha reta descendente da parede superior para o centro e continua até a parede inferior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de e atua para baixo. A variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal é linear, diminuindo de nas paredes até zero no centro.