A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
onde
é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a
, com
. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição de velocidade no escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamentos laminares e tensão de cisalhamento. A gente vai calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender em qual direção ela atua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão da distribuição de velocidade dada:
Aqui,
é a velocidade do fluido em uma posição
entre as placas,
é a velocidade máxima, e
é a distância entre as placas. A origem (
) está no meio entre as placas.
Passo 3
A gente precisa encontrar a tensão de cisalhamento (
) na placa superior. Para isso, vamos usar a relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade:
Onde
é a viscosidade dinâmica da água a
. Primeiro, vamos encontrar
, a derivada da velocidade em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar a equação da velocidade em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, precisamos da expressão da tensão de cisalhamento:
A tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade e à viscosidade.
Passo 6
Na placa superior, a posição
é igual a
, porque a origem está no meio. Substituindo
:
Passo 7
Agora, precisamos dos valores numéricos. Sabemos que:
Assumindo que
, vamos usar
da água a
, que é aproximadamente
.
Substituindo:
Calculando:
Passo 8
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está na direção oposta ao aumento da velocidade, ou seja, atua na direção que retarda o fluido. Na placa superior, a tensão de cisalhamento puxa o fluido para baixo.
Passo 9
Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal, sabemos que
varia linearmente com
. No centro (
),
, e nas placas,
tem o valor máximo negativo. Portanto, o gráfico é uma linha reta que parte do meio com
e desce linearmente até
nas placas superior e inferior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de aproximadamente
, atuando para baixo. A variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal do canal é uma linha reta que vai de
no centro até
nas placas.
Exercícios relacionados
Uma janela de parede dupla é constituída de dois vidros idênticos separado por uma camada de ar estagnado (
) de espessura
e espessura do vidro igual a
. A condutividade térmica do vidro é
. O ar externo (
) permanece com temperatura
e o coeficiente de transferência de calor por convecção
. Um sistema de aquecimento mantém o ar do ambiente interno à temperatura
. O coeficiente de transferência de calor por convecção do ar interno é
. Determine:
a) o fluxo de calor que passa através da janela dupla; Resp. 21,6 W/m²
b) compare esse resultado com o fluxo de calor que passa através da janela de somente um vidro de espessura 4 mm , com as mesmas condições especificadas no problema e analise a questão considerando o ponto de vista da conservação de energia. Resp. Para uma janela de vidro, qc) Compare os resultados e relacione ao valor da resistência total nos dois casos.
a) o fluxo de calor que passa através da janela dupla; Resp. 21,6 W/m²
b) compare esse resultado com o fluxo de calor que passa através da janela de somente um vidro de espessura 4 mm , com as mesmas condições especificadas no problema e analise a questão considerando o ponto de vista da conservação de energia. Resp. Para uma janela de vidro, qc) Compare os resultados e relacione ao valor da resistência total nos dois casos.
Uma parede composta separa gases de combustão a
de um líquido refrigerante a
, com coeficientes de transferência de calor no lado do gás e no do líquido iguais a 50 e
. A parede é composta por uma camada de espessura igual a 10 mm de óxido de berílio (
) no lado do gás e uma placa de 20 mm de espessura de aço inoxidável AISI 304 (
) no lado do líquido. A resistência de contato entre o óxido e o aço é de 0,05 m² K/W.
a) Esboce o circuito térmico equivalente que representa a situação apresentada.
b) Qual é a taxa de perda de calor por unidade de área da superfície na parede composta? Resp. 31832,80 W/m²
c) Determine as temperaturas nas duas superfícies que conferem descontinuidade de junção e são relacionadas à resistência de contato. Resp. e
.
d) Esboce a distribuição de temperaturas do gás para o líquido.
a) Esboce o circuito térmico equivalente que representa a situação apresentada.
b) Qual é a taxa de perda de calor por unidade de área da superfície na parede composta? Resp. 31832,80 W/m²
c) Determine as temperaturas nas duas superfícies que conferem descontinuidade de junção e são relacionadas à resistência de contato. Resp.
d) Esboce a distribuição de temperaturas do gás para o líquido.
c) Se a viscosidade de um dos fluidos fosse muito maior que a do outro, esta previsão do item b seria alterada?
Água quente com temperatura
escoa no interior de um duto de aço de raio interno
, raio externo
e comprimento
. O duto está em contato com o ar ambiente, de temperatura
. Sendo a condutividade térmica do aço kaço
, o coeficiente de transferência de calor por convecção da água
e o coeficiente de transferência de calor por convecção do
, determine:
a) a taxa de transferência de calor que passa da água para o ar ambiente. Resp. 3,96 W
b) o fluxo de calor nas superfícies interna e externa do duto; Resp. qc) a temperatura na superfície externa do duto. Resp.
a) a taxa de transferência de calor que passa da água para o ar ambiente. Resp. 3,96 W
b) o fluxo de calor nas superfícies interna e externa do duto; Resp. qc) a temperatura na superfície externa do duto. Resp.