A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
uumax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com umix=0,10 m / s e h=0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição de velocidade no escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamentos laminares e tensão de cisalhamento. A gente vai calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender em qual direção ela atua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da distribuição de velocidade dada:
uumax = 1 - (2 yh)^2
Aqui, é a velocidade do fluido em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. A origem ( ) está no meio entre as placas.

Passo 3

A gente precisa encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ) na placa superior. Para isso, vamos usar a relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade:
Onde é a viscosidade dinâmica da água a . Primeiro, vamos encontrar , a derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos derivar a equação da velocidade em relação a u = umax (1 - (2 yh)^2) :
dudy = umax ( -2 cdot 2h^2 y ) = -4 umax yh^2
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos da expressão da tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy = mu ( -4 umax yh^2 ) = -4 mu umax yh^2
A tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade e à viscosidade.

Passo 6

Na placa superior, a posição tausuperior = -4 mu umax (h/2)h^2 = -2 mu umaxh é igual a , porque a origem está no meio. Substituindo :

Passo 7

Agora, precisamos dos valores numéricos. Sabemos que:
  • tausuperior = -2 times 1,14 times 10^-3 times 0,100,25 times 10^-3 = -2 times 1,14 times 0,100,25 times 10^0 Pa
  • tausuperior = -0,2280,25 = -0,912 Pa
Assumindo que , vamos usar da água a , que é aproximadamente .
Substituindo:
Calculando:

Passo 8

O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está na direção oposta ao aumento da velocidade, ou seja, atua na direção que retarda o fluido. Na placa superior, a tensão de cisalhamento puxa o fluido para baixo.

Passo 9

Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal, sabemos que varia linearmente com . No centro ( ), , e nas placas, tem o valor máximo negativo. Portanto, o gráfico é uma linha reta que parte do meio com e desce linearmente até nas placas superior e inferior.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de aproximadamente , atuando para baixo. A variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal do canal é uma linha reta que vai de no centro até nas placas.

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