A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
onde
é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a
, com
. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição de velocidade no escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamentos laminares e tensão de cisalhamento. A gente vai calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender em qual direção ela atua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão da distribuição de velocidade dada:
Aqui,
é a velocidade do fluido em uma posição
entre as placas,
é a velocidade máxima, e
é a distância entre as placas. A origem (
) está no meio entre as placas.
Passo 3
A gente precisa encontrar a tensão de cisalhamento (
) na placa superior. Para isso, vamos usar a relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade:
Onde
é a viscosidade dinâmica da água a
. Primeiro, vamos encontrar
, a derivada da velocidade em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar a equação da velocidade em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, precisamos da expressão da tensão de cisalhamento:
A tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade e à viscosidade.
Passo 6
Na placa superior, a posição
é igual a
, porque a origem está no meio. Substituindo
:
Passo 7
Agora, precisamos dos valores numéricos. Sabemos que:
Assumindo que
, vamos usar
da água a
, que é aproximadamente
.
Substituindo:
Calculando:
Passo 8
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está na direção oposta ao aumento da velocidade, ou seja, atua na direção que retarda o fluido. Na placa superior, a tensão de cisalhamento puxa o fluido para baixo.
Passo 9
Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal, sabemos que
varia linearmente com
. No centro (
),
, e nas placas,
tem o valor máximo negativo. Portanto, o gráfico é uma linha reta que parte do meio com
e desce linearmente até
nas placas superior e inferior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de aproximadamente
, atuando para baixo. A variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal do canal é uma linha reta que vai de
no centro até
nas placas.