Quando dividimos um polinômio P(x) por (x - 1) obtemos resto 1 e quando dividimos P(x) por (x + 1) obtemos resto -5. Desta forma, quando dividimos P(x) por (x² - 1) obteremos resto:
a. 3x - 2
b. 5
c. 2x - 5
d. 2x
e. n.d.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dividir um polinômio $ P(x) $ por outros polinômios e encontrar o resto dessa divisão. O conteúdo principal aqui é a Divisão de Polinômios e o Teorema do Resto. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema do Resto, que nos diz qual é o resto quando dividimos um polinômio por outro.

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando dividimos $ P(x) $ por $ (x - 1) $, o resto é 1. Segundo o Teorema do Resto, isso significa que $ P(1) = 1 $.

Passo 3

Da mesma forma, quando dividimos $ P(x) $ por $ (x + 1) $, o resto é -5. Então, pelo Teorema do Resto, $ P(-1) = -5 $.

Passo 4

Queremos encontrar o resto quando dividimos $ P(x) $ por $ x^2 - 1 $. Sabemos que $ x^2 - 1 $ pode ser fatorado como $ (x - 1)(x + 1) $. O grau de $ x^2 - 1 $ é 2, então o resto da divisão será um polinômio de grau menor que 2, ou seja, da forma $ Ax + B $.

Passo 5

Agora, temos que:
P(1) = A(1) + B = 1 (1)
P(-1) = A(-1) + B = -5 (2)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1):
A + B = 1
Da equação (2):
- A + B = -5

Passo 7

Somando as duas equações para eliminar $ A $:
A

Passo 8

Substituindo $ B = -2 $ na equação (1):
B = -2

Resposta

O resto da divisão de $ P(x) $ por $ x^2 - 1 $ é $ 3x - 2 $.
Alternativa a. 3x - 2

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