Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por A1(t) = -4t^2 + 8t e o do segundo, por A2(t) = -1.8 t^3 + 5.4 t, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é mínima?

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo dois analgésicos diferentes. A gente quer descobrir em que momento a diferença entre a eficácia dos dois medicamentos é a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, mais especificamente cálculo, que nos ajuda a encontrar valores mínimos e máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que representam a eficácia de cada analgésico ao longo do tempo. Para o primeiro analgésico, a eficácia é dada por:
E para o segundo analgésico:
Aqui, é o tempo em horas após a ingestão do medicamento.

Passo 3

Queremos encontrar a diferença entre os efeitos dos dois analgésicos em qualquer instante . Vamos chamar essa diferença de :
Substituindo as funções:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o instante em que essa diferença é mínima. Para isso, precisamos encontrar o valor de que minimiza . Em cálculo, isso significa encontrar o ponto onde a primeira derivada de é zero e a segunda derivada é positiva (indicando um mínimo).

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os possíveis pontos de mínimo:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 7

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Aqui, , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 10

Calculando as duas possíveis soluções:

Passo 11

Agora, precisamos verificar qual desses valores de realmente corresponde a um mínimo. Para isso, calculamos a segunda derivada de :

Passo 12

Avaliar a segunda derivada em cada valor de :
Para :
(positivo, indica mínimo)
Para :
(negativo, indica máximo)

Passo 13

Portanto, o valor de que minimiza a diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é hora.

Resposta

A diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é mínima 1 hora após a ingestão.

Exercícios relacionados

para os valores de tonde M'(t) > 0 e M'(t) < 0, o que estaria acontecendo com essa massa bacteriana?
Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por A1(t) = -4t^2 + 8t e o do segundo, por A2(t) = -1.8 t^3 + 5.4 t, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
lim x infty x^2+3 x2 x^2-1
Determine os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 e as equações das retas tangentes nesses pontos.