Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por
e o do segundo, por
, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é mínima?
O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é mínima?
Passo 1
Então, a gente tem um problema envolvendo dois analgésicos diferentes. A gente quer descobrir em que momento a diferença entre a eficácia dos dois medicamentos é a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, mais especificamente cálculo, que nos ajuda a encontrar valores mínimos e máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que representam a eficácia de cada analgésico ao longo do tempo. Para o primeiro analgésico, a eficácia é dada por:
E para o segundo analgésico:
Aqui,
é o tempo em horas após a ingestão do medicamento.
Passo 3
Queremos encontrar a diferença entre os efeitos dos dois analgésicos em qualquer instante
. Vamos chamar essa diferença de
:
Substituindo as funções:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o instante
em que essa diferença
é mínima. Para isso, precisamos encontrar o valor de
que minimiza
. Em cálculo, isso significa encontrar o ponto onde a primeira derivada de
é zero e a segunda derivada é positiva (indicando um mínimo).
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os possíveis pontos de mínimo:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 7
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Aqui,
,
, e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Agora, substituímos os valores na fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 10
Calculando as duas possíveis soluções:
Passo 11
Agora, precisamos verificar qual desses valores de
realmente corresponde a um mínimo. Para isso, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 12
Avaliar a segunda derivada em cada valor de
:
Para :
Para
Para
:
Passo 13
Portanto, o valor de
que minimiza a diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é
hora.
Resposta
A diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é mínima 1 hora após a ingestão.
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Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por
e o do segundo, por
, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
Determine os pontos críticos da função
e as equações das retas tangentes nesses pontos.