Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por
e o do segundo, por
, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
A que horas o segundo analgésico proporcionará um alívio máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois analgésicos diferentes e como eles funcionam ao longo do tempo. A gente quer descobrir, especificamente para o segundo analgésico, em que hora ele vai proporcionar o alívio máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos de máximo e mínimo nas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que descreve o alívio proporcionado pelo segundo analgésico:
Aqui,
representa o número de horas após a ingestão do medicamento.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde o alívio é máximo, precisamos descobrir onde a função
atinge seu valor mais alto. Isso acontece onde a derivada da função em relação ao tempo (
) é igual a zero, ou seja, onde a inclinação da curva é plana.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando as regras de derivação:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que faz com que a derivada seja zero:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -5,4:
Passo 6
Como o tempo
não pode ser negativo nesse contexto, descartamos
e ficamos com:
Então, após 1 hora, a derivada é zero, indicando um ponto crítico.
Passo 7
Para confirmar que esse ponto é de máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Ao substituir
:
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um ponto de máximo.
Resposta
O segundo analgésico proporcionará um alívio máximo 1 hora após ser tomado.
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