Dois auto-falantes esféricos, pequenos, emitem simultaneamente uma nota com comprimento de onda lambda. Os auto-falantes estão separados por uma distância de 10 lambda / 3. Se o microfone move-se ao longo da linha entre os dois centros, para qual posição ele detecta (a) um som inesperadamente alto e (b) um som inesperadamente baixo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois alto-falantes esféricos que estão emitindo uma nota com comprimento de onda . Eles estão separados por uma distância de . Um microfone está se movendo ao longo da linha que une os centros dos alto-falantes. Queremos descobrir em quais posições o microfone vai detectar um som bem alto (interferência construtiva) e um som bem baixo (interferência destrutiva). Para resolver isso, vamos usar o conceito de interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e podem se reforçar ou se anular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa interferência construtiva e destrutiva. A interferência construtiva acontece quando as ondas estão alinhadas, ou seja, os picos de uma coincide com os picos da outra. Isso faz com que o som seja mais alto. Matemáticamente, isso ocorre quando a diferença de caminho é múltiplo inteiro do comprimento de onda De:
De
Já a interferência destrutiva acontece quando os picos de uma onda coincidem com os vales da outra, cancelando-se parcialmente. Isso resulta em um som mais baixo. Isso acontece quando a diferença de caminho é um múltiplo ímpar meio do comprimento de onda:

Passo 3

Vamos definir De como a distância entre os alto-falantes, que é . O microfone está se movendo ao longo dessa distância, então vamos chamar a posição do microfone de em relação a um dos alto-falantes. A diferença de caminho será:
Queremos que essa diferença seja igual a para encontrar as posições onde o som é mais alto e para onde é mais baixo.

Passo 4

Vamos primeiro encontrar as posições onde o som é mais alto (interferência construtiva). Igualamos a diferença de caminho a 10lambda3 - 2x = nlambda :
2x = 10lambda3 - nlambda x = 10lambda6 - nlambda2 x = 5lambda3 - nlambda2
Resolvendo para :
Agora, vamos achar os valores de que fazem estar entre 0 e .

Passo 5

Testando valores de x = 5lambda3 approx 1.666lambda :
  • Para x = 5lambda3 - lambda2 = 10lambda - 3lambda6 = 7lambda6 approx 1.166lambda : x = 5lambda3 - lambda = 5lambda - 3lambda3 = 2lambda3 approx 0.666lambda
  • Para x = 5lambda3 - 3lambda2 = 10lambda - 9lambda6 = lambda6 approx 0.166lambda :
  • Para :
  • Para :
Valores de maiores que 3 resultam em posições negativas, então não são válidos.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as posições onde o som é mais baixo (interferência destrutiva). Igualamos a diferença de caminho a 10lambda3 - 2x = (n + 12)lambda :
2x = 10lambda3 - (n + 12)lambda x = 10lambda6 - (n + 12)lambda2 x = 5lambda3 - nlambda2 - lambda4
Resolvendo para :
Vamos testar valores de similares para encontrar dentro do intervalo.

Passo 7

Testando valores de x = 5lambda3 - lambda4 = 20lambda - 3lambda12 = 17lambda12 approx 1.416lambda :
  • Para x = 5lambda3 - lambda2 - lambda4 = 20lambda - 6lambda - 3lambda12 = 11lambda12 approx 0.916lambda : x = 5lambda3 - lambda - lambda4 = 20lambda - 12lambda - 3lambda12 = 5lambda12 approx 0.416lambda
  • Para :
  • Para :
Valores de maiores resultam em negativos ou além de , então não consideramos.

Resposta

(a) O microfone detecta um som inesperadamente alto nas posições:
x = lambda6, 2lambda3, 7lambda6, 5lambda3, 13lambda6, 8lambda3, 19lambda6
(b) O microfone detecta um som inesperadamente baixo nas posições:
x = 17lambda12, 11lambda12, 5lambda12

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