Uma esfera isolante uniformemente carregada de raio
, com uma densidade de cargas
, esta situada no centro de uma casca esférica isolante de raio interno
e raio extemo
uniformemente carregada, com uma densidade de cargas
(ver
figura ao lado). (a) Usando a Lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico
para qualquer distancia
tomada a partir do centro deste arranjo (ou seja, para:
)
;ii)
; iii)
), expresse seus resultados em termos de
e
. (b) Baseando-se na Lei de Gauss, diga qual é a condição que deve ser imposta, relacionando a carga total
da esfera central e a carga total
da casca esferica, pará que o campo elétrico externo
seja nulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos elétricos em arranjos esféricos carregados. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Neste caso, temos uma esfera isolante carregada no centro e uma casca esférica ao redor dela, também carregada. Precisamos encontrar o campo elétrico
em diferentes regiões ao redor desse arranjo, expressando tudo em termos das densidades de carga
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as diferentes regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
- Dentro da esfera central (
): Aqui estamos dentro de um material carregado uniformemente. - Entre a esfera central e a casca (
): Nesta região, só a carga da esfera central afeta o campo. - Dentro da casca esférica (
): Agora, além da esfera central, parte da carga da casca também contribui. - Fora da casca (
): Todas as cargas internas contribuem para o campo aqui.
Vamos calcular o campo em cada uma dessas regiões usando a Lei de Gauss:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
i) Para
:
Aqui, a superfície gaussiana é uma esfera de raio
dentro da esfera central. A carga encerrada
é a carga dentro de um raio
.
A densidade de carga é
, então a carga dentro de
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 4
ii) Para
:
Agora, a superfície gaussiana está entre a esfera central e a casca. Só a carga da esfera central está dentro dessa superfície.
A carga total da esfera central é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Então:
Passo 5
iii) Para
:
Agora, a superfície gaussiana está dentro da casca esférica. A carga encerrada inclui a carga da esfera central e parte da carga da casca.
A densidade de carga da casca é
, e a espessura da casca é
. A carga dentro do raio
da casca é:
Então, a carga total encerrada é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 6
iv) Para
:
Aqui, a superfície gaussiana envolve toda a esfera central e toda a casca esférica. A carga total encerrada é a soma das cargas da esfera e da casca.
A carga total da casca é:
Então, a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 7
Parte b: Condição para que o campo externo (
) seja nulo
Queremos que
para
. Olhando para a expressão que encontramos:
Para que isso seja zero, o numerador deve ser zero:
Isso implica que a carga total da esfera central mais a carga total da casca esférica deve ser zero:
Resposta
(a) O módulo do campo elétrico
em função da distância
é:
i) Para
:
ii) Para
:
iii) Para
:
iv) Para
:
(b) A condição para que o campo elétrico externo (
) seja nulo é que a carga total da esfera central
seja igual e oposta à carga total da casca esférica
:
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tempo e aceleração
tempo.
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. Se
for uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo com energia
, mostre que a função de onda
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para a função de onda dependente do tempo indicada anteriormente.