Uma esfera isolante uniformemente carregada de raio R1, com uma densidade de cargas rho1, esta situada no centro de uma casca esférica isolante de raio interno R2 e raio extemo R3 uniformemente carregada, com uma densidade de cargas rho2 (ver E figura ao lado). (a) Usando a Lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico E para qualquer distancia r tomada a partir do centro deste arranjo (ou seja, para: i ) r;ii) R1; iii) R2R3 ), expresse seus resultados em termos de rho1 e rho2. (b) Baseando-se na Lei de Gauss, diga qual é a condição que deve ser imposta, relacionando a carga total q1 da esfera central e a carga total q2 da casca esferica, pará que o campo elétrico externo (r>R3) seja nulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos elétricos em arranjos esféricos carregados. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Neste caso, temos uma esfera isolante carregada no centro e uma casca esférica ao redor dela, também carregada. Precisamos encontrar o campo elétrico E em diferentes regiões ao redor desse arranjo, expressando tudo em termos das densidades de carga rho1 e rho2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as diferentes regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
  1. Dentro da esfera central ( r < R1): Aqui estamos dentro de um material carregado uniformemente.
  2. Entre a esfera central e a casca ( R1 < r < R2): Nesta região, só a carga da esfera central afeta o campo.
  3. Dentro da casca esférica ( R2 < r < R3): Agora, além da esfera central, parte da carga da casca também contribui.
  4. Fora da casca ( r > R3): Todas as cargas internas contribuem para o campo aqui.
Vamos calcular o campo em cada uma dessas regiões usando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

i) Para r < R1:
Aqui, a superfície gaussiana é uma esfera de raio r dentro da esfera central. A carga encerrada Qenc é a carga dentro de um raio r.
A densidade de carga é rho1, então a carga dentro de r é:
Qenc = rho1 cdot 43pi r^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho1 cdot 43pi r^3varepsilon0
Simplificando:
E = rho1 r3varepsilon0

Passo 4

ii) Para R1 < r < R2:
Agora, a superfície gaussiana está entre a esfera central e a casca. Só a carga da esfera central está dentro dessa superfície.
A carga total da esfera central é:
Qesfera = rho1 cdot 43pi R1^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qesferavarepsilon0
Então:
E = rho1 R1^33varepsilon0 r^2

Passo 5

iii) Para R2 < r < R3:
Agora, a superfície gaussiana está dentro da casca esférica. A carga encerrada inclui a carga da esfera central e parte da carga da casca.
A densidade de carga da casca é rho2, e a espessura da casca é R3 - R2. A carga dentro do raio r da casca é:
Qcasca = rho2 cdot 43pi (r^3 - R2^3)
Então, a carga total encerrada é:
Qenc = Qesfera + Qcasca = rho1 cdot 43pi R1^3 + rho2 cdot 43pi (r^3 - R2^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho1 cdot 43pi R1^3 + rho2 cdot 43pi (r^3 - R2^3)varepsilon0
Simplificando:
E = rho1 R1^3 + rho2 (r^3 - R2^3)3varepsilon0 r^2

Passo 6

iv) Para r > R3:
Aqui, a superfície gaussiana envolve toda a esfera central e toda a casca esférica. A carga total encerrada é a soma das cargas da esfera e da casca.
A carga total da casca é:
Qcasca total = rho2 cdot 43pi (R3^3 - R2^3)
Então, a carga total é:
Qtotal = Qesfera + Qcasca total = rho1 cdot 43pi R1^3 + rho2 cdot 43pi (R3^3 - R2^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0
Simplificando:
E = rho1 R1^3 + rho2 (R3^3 - R2^3)3varepsilon0 r^2

Passo 7

Parte b: Condição para que o campo externo ( r > R3) seja nulo
Queremos que E = 0 para r > R3. Olhando para a expressão que encontramos:
E = rho1 R1^3 + rho2 (R3^3 - R2^3)3varepsilon0 r^2 = 0
Para que isso seja zero, o numerador deve ser zero:
rho1 R1^3 + rho2 (R3^3 - R2^3) = 0
Isso implica que a carga total da esfera central mais a carga total da casca esférica deve ser zero:
q1 + q2 = 0 Rightarrow q2 = -q1

Resposta

(a) O módulo do campo elétrico E em função da distância r é:
i) Para r < R1:
E = rho1 , r3, varepsilon0
ii) Para R1 < r < R2:
E = rho1 , R1^33, varepsilon0 , r^2
iii) Para R2 < r < R3:
E = rho1 R1^3 + rho2 (r^3 - R2^3)3, varepsilon0 , r^2
iv) Para r > R3:
E = rho1 R1^3 + rho2 (R3^3 - R2^3)3, varepsilon0 , r^2
(b) A condição para que o campo elétrico externo ( r > R3) seja nulo é que a carga total da esfera central q1 seja igual e oposta à carga total da casca esférica q2:
q1 + q2 = 0 Rightarrow q2 = -q1

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