Dois capacitores cilíndricos
e
com comprimentos 10 cm possuem raios internos
5 mm e raios externos
e
respectivamente. Eles são conectados paralelamente a uma fonte de 50 V .
(b) Se mudamos o raio
para
, qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria?
(b) Se mudamos o raio
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre capacitores cilíndricos, que são componentes eletrônicos que armazenam carga elétrica. Aqui, temos dois capacitores, A e B, com determinadas dimensões, conectados em paralelo a uma fonte de 50 V. A pergunta é: se a gente muda o raio externo do capacitor B, qual será a carga extra que a bateria vai transferir para os capacitores? Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico e entender como capacitores em paralelo se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância $ C $ de um capacitor cilíndrico:
Onde:
- $ \varepsilon $ é a permissividade do material entre os cilindros (vamos considerar $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $),
- $ L $ é o comprimento do capacitor,
- $ R $ é o raio externo,
- $ r $ é o raio interno,
- $ \ln $ é o logaritmo natural.
Passo 3
Vamos calcular a capacitância inicial de cada capacitor.
Capacitor A:
- $ r_A = 5 , mm = 0,005 , m $
- $ R_A = 2 r_A = 0,010 , m $
- $ L = 10 , cm = 0,10 , m $
Capacitor B:
- $ r_B = 5 , mm = 0,005 , m $
- $ R_B = 5 r_B = 0,025 , m $
- $ L = 0,10 , m $
Passo 4
Como os capacitores estão conectados em paralelo, a capacitância total $ C_{total} $ é a soma das capacitâncias individuais:
A carga total armazenada inicialmente é:
Passo 5
Agora, mudamos o raio externo do capacitor B para $ R’_B = 4 r_B = 0,020 , m $. Vamos recalcular a capacitância do capacitor B com esse novo raio.
A nova capacitância total é:
A nova carga total armazenada será:
Passo 6
A carga adicional transferida pela bateria é a diferença entre a carga final e a inicial:
Resposta
A carga adicional transferida aos capacitores pela bateria é de aproximadamente $ 2,80 \times 10^{-11} , C $.