Dois capacitores cilíndricos A e B com comprimentos 10 cm possuem raios internos rA=rB= 5 mm e raios externos RA=2 rA e RB=5 rB respectivamente. Eles são conectados paralelamente a uma fonte de 50 V .
(b) Se mudamos o raio RB para 4 rB, qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre capacitores cilíndricos, que são componentes eletrônicos que armazenam carga elétrica. Aqui, temos dois capacitores, A e B, com determinadas dimensões, conectados em paralelo a uma fonte de 50 V. A pergunta é: se a gente muda o raio externo do capacitor B, qual será a carga extra que a bateria vai transferir para os capacitores? Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico e entender como capacitores em paralelo se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância $ C $ de um capacitor cilíndrico:
C
Onde:
  • $ \varepsilon $ é a permissividade do material entre os cilindros (vamos considerar $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $),
  • $ L $ é o comprimento do capacitor,
  • $ R $ é o raio externo,
  • $ r $ é o raio interno,
  • $ \ln $ é o logaritmo natural.

Passo 3

Vamos calcular a capacitância inicial de cada capacitor.
Capacitor A:
  • $ r_A = 5 , mm = 0,005 , m $
  • $ R_A = 2 r_A = 0,010 , m $
  • $ L = 10 , cm = 0,10 , m $
rA = 5 , mm = 0,005 , m
Capacitor B:
  • $ r_B = 5 , mm = 0,005 , m $
  • $ R_B = 5 r_B = 0,025 , m $
  • $ L = 0,10 , m $
RA = 2 rA = 0,010 , m

Passo 4

Como os capacitores estão conectados em paralelo, a capacitância total $ C_{total} $ é a soma das capacitâncias individuais:
Ctotal
A carga total armazenada inicialmente é:
Ctotalinicial = CA + CB = 8,06 times 10^-12 + 3,47 times 10^-12 = 11,53 times 10^-12 , F

Passo 5

Agora, mudamos o raio externo do capacitor B para $ R’_B = 4 r_B = 0,020 , m $. Vamos recalcular a capacitância do capacitor B com esse novo raio.
R'B = 4 rB = 0,020 , m
A nova capacitância total é:
C'B = 2 pi times 8,85 times 10^-12 times 0,10ln(0,0200,005) = 5,58 times 10^-12ln(4) approx 5,58 times 10^-121,386 approx 4,03 times 10^-12 , F
A nova carga total armazenada será:
Ctotalnova = CA + C'B = 8,06 times 10^-12 + 4,03 times 10^-12 = 12,09 times 10^-12 , F

Passo 6

A carga adicional transferida pela bateria é a diferença entre a carga final e a inicial:
De

Resposta

A carga adicional transferida aos capacitores pela bateria é de aproximadamente $ 2,80 \times 10^{-11} , C $.

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