Dois alto-falantes são colocados à uma distância de 3,00 m um do outro, em um auditório. Um detector é também colocado à 20,0 m de um dos alto-falantes e 21,2 m do outro. Um gerador de sinal (onda) é ligado aos alto-falantes gerando ondas em fase na faixa de 2 KHz a 20 KHz . Considerando a velocidade do som no ar igual a 343 m / s, pede-se:
Qual a mais baixa nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta: f=2,001 kHz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre interferência construtiva de ondas sonoras emitidas por dois alto-falantes. Temos dois alto-falantes a 3,00 metros de distância um do outro, um detector a 20,0 metros de um alto-falante e 21,2 metros do outro. Queremos encontrar a menor frequência dentro do intervalo de 2 kHz a 20 kHz que produz a maior interferência construtiva. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre interferência de ondas e usar a fórmula que relaciona a diferença de caminho com o comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interferência construtiva. Isso acontece quando duas ondas estão em fase, ou seja, seus picos e vales coincidem, resultando numa onda de amplitude maior. Para que isso aconteça, a diferença de caminho que as ondas percorrem desde os alto-falantes até o detector deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda.

Passo 3

Vamos calcular a diferença de caminho que as ondas percorrem até o detector. O detector está a 20,0 m de um alto-falante e 21,2 m do outro. Então, a diferença de caminho (Δx) é:
De

Passo 4

Para ocorrer interferência construtiva, essa diferença de caminho deve ser igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda (λ):
De
Queremos encontrar a menor frequência, então vamos considerar o menor valor de n que satisfaz essa condição. Geralmente, começamos com n = 1.

Passo 5

Sabemos que a velocidade do som (v) está relacionada com a frequência (f) e o comprimento de onda (λ) pela fórmula:
v = f lambda
Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar o comprimento de onda:
lambda = vf

Passo 6

Substituindo a diferença de caminho e a expressão para λ na equação da interferência construtiva:
De
Queremos encontrar f quando n = 1:
1,2 = 343f

Passo 7

Resolvendo para f:
f = 3431,2 approx 285,83 , Hz

Passo 8

No entanto, nosso intervalo de frequência é de 2 kHz a 20 kHz. A frequência que encontramos está abaixo desse intervalo, então precisamos considerar valores de n maiores para encontrar a menor frequência dentro do intervalo dado.
Vamos aumentar n até que a frequência calculada esteja dentro de 2 kHz a 20 kHz.

Passo 9

Usando a mesma fórmula:
f = 3431,2n = 343n1,2
Queremos que f ≥ 2000 Hz (2 kHz):
343n1,2 >= 2000 implies n >= 2000 times 1,2343 approx 6,997
Como n deve ser inteiro, n = 7.

Passo 10

Agora, calculamos a frequência para n = 7:
f = 343 times 71,2 approx 24011,2 approx 2000,83 , Hz

Passo 11

Arredondando para três casas decimais, temos:
f approx 2000,83 , Hz approx 2,001 , kHz

Resposta

A menor frequência para a qual ocorre a maior interferência construtiva é f = 2,001 , kHz.

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